Question

En esta figura, el centro del círculo es $O.$ $\overline{AB}\perp\overline{BC},$ $ADOE$ es una recta, $\overline{AP}=\overline{AD},$ y la longitud de $\overline{AB}$ es el doble del radio. Entonces:

In this figure the center of the circle is $O.$ $\overline{AB}\perp\overline{BC},$ $ADOE$ is a straight line, $\overline{AP}=\overline{AD},$ and $\overline{AB}$ has a length twice the radius. Then:

$\overline{AP}^{\,2}=\overline{PB}\cdot\overline{AB}$

$\overline{AP}\cdot\overline{DO}=\overline{PB}\cdot\overline{AD}$

$\overline{AB}^{\,2}=\overline{AD}\cdot\overline{DE}$

$\overline{AB}\cdot\overline{AD}=\overline{OB}\cdot\overline{AO}$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:recta tangente potencia de un punto círculo

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Sea el radio $r$ y expresa $AD$ en función de $AO$ y $r$

Let the radius be $r$ and write $AD$ in terms of $AO$ and $r$

Pista grande:

Usa la relación de tangencia $AB^2=AD\cdot AE$ junto con $AB=2r$

Use the tangent relation $AB^2=AD\cdot AE$ together with $AB=2r$

Solución:

Sea el radio $r.$ Como $AB$ es tangente en $B,$ $AB^2=AD\cdot AE.$ Escribe $AD=t.$ Como la secante pasa por el centro, $AE=t+2r,$ mientras que $AB=2r.$ Por tanto, $t(t+2r)=4r^2.$ Además, $AP=AD=t$ y $PB=AB-AP=2r-t.$ La ecuación mostrada se reordena como $t^2=2r(2r-t)=PB\cdot AB.$ Por lo tanto, $AP^2=PB\cdot AB.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the radius be $r.$ Since $AB$ is tangent at $B,$ $AB^2=AD\cdot AE.$ Write $AD=t.$ Because the secant passes through the center, $AE=t+2r,$ while $AB=2r.$ Hence $t(t+2r)=4r^2.$ Also $AP=AD=t$ and $PB=AB-AP=2r-t.$ The displayed equation rearranges to $t^2=2r(2r-t)=PB\cdot AB.$ Therefore $AP^2=PB\cdot AB.$

Thus, the correct answer is A.

1960 AMC 12 Problema 32

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años