Question

Para que $x^2+2x+5$ sea un factor de $x^4+px^2+q,$ los valores de $p$ y $q$ deben ser, respectivamente:

For $x^2+2x+5$ to be a factor of $x^4+px^2+q,$ the values of $p$ and $q$ must be, respectively:

$-2,$ $5$

$5,$ $25$

$10,$ $20$

$6,$ $25$

$14,$ $25$

Respuesta: D

Conceptos:polinomio manipulación algebraica factor

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Trabaja módulo $x^2+2x+5,$ de modo que $x^2=-2x-5$

Work modulo $x^2+2x+5,$ so $x^2=-2x-5$

Pista grande:

Reduce $x^4$ a una expresión lineal y haz cero los dos coeficientes del residuo

Reduce $x^4$ to a linear expression and make both remainder coefficients zero

Solución:

Módulo $x^2+2x+5,$ tenemos $x^2=-2x-5.$ Entonces $x^3=10-x,\qquad x^4=12x+5.$ Por tanto, $\begin{gathered} x^4+px^2+q\\ {}\equiv(12-2p)x+(5-5p+q). \end{gathered}$ Ambos coeficientes se anulan cuando $p=6$ y $q=25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Modulo $x^2+2x+5,$ we have $x^2=-2x-5.$ Then $x^3=10-x,\qquad x^4=12x+5.$ Thus $\begin{gathered} x^4+px^2+q\\ {}\equiv(12-2p)x+(5-5p+q). \end{gathered}$ Both coefficients vanish when $p=6$ and $q=25.$

Therefore, the correct answer is D.

1960 AMC 12 Problema 31

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años