Question

En este diagrama, que no está dibujado a escala, las figuras $\mathrm{I}$ y $\mathrm{III}$ son regiones triangulares equiláteras con áreas respectivas de $32\sqrt3$ y $8\sqrt3$ pulgadas cuadradas. La figura $\mathrm{II}$ es una región cuadrada de área $32$ pulgadas cuadradas. Se reduce la longitud del segmento $AD$ en un $12\dfrac12\%$ de sí misma, mientras las longitudes de $AB$ y $CD$ permanecen sin cambio. El porcentaje de disminución del área del cuadrado es:

In this diagram, not drawn to scale, figures $\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ are equilateral triangular regions with respective areas of $32\sqrt3$ and $8\sqrt3$ square inches. Figure $\mathrm{II}$ is a square region with area $32$ square inches. Let the length of segment $AD$ be decreased by $12\dfrac12\%$ of itself, while the lengths of $AB$ and $CD$ remain unchanged. The percent decrease in the area of the square is:

$12\dfrac12$

$25$

$50$

$75$

$87\dfrac12$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo equilátero cuadrado (geometría)área porcentaje

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Convierte las tres áreas dadas en las longitudes de lado $AB,$ $BC,$ $CD$

Convert the three given areas into the side lengths $AB,$ $BC,$ $CD$

Pista grande:

La disminución de $AD$ recae por completo en el lado del cuadrado

The decrease in $AD$ is absorbed entirely by the square’s side

Solución:

De $(\frac{\sqrt3}{4})s^2=32\sqrt3,$ se obtiene $AB=8\sqrt2.$ El cuadrado tiene $BC=4\sqrt2,$ y el triángulo equilátero menor también tiene $CD=4\sqrt2.$ Por tanto, $AD=16\sqrt2.$ Reducirlo en $\frac{1}{8}$ resta $2\sqrt2$ de $BC,$ cuya nueva longitud es $2\sqrt2.$ El área del cuadrado baja de $32$ a $8,$ una disminución del $75\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From $(\frac{\sqrt3}{4})s^2=32\sqrt3,$ $AB=8\sqrt2.$ The square has $BC=4\sqrt2,$ and the smaller equilateral triangle also has $CD=4\sqrt2.$ Thus $AD=16\sqrt2.$ Decreasing it by $\frac{1}{8}$ removes $2\sqrt2$ from $BC,$ whose new length is $2\sqrt2.$ The square’s area falls from $32$ to $8,$ a $75\%$ decrease.

Therefore, the correct answer is D.

1968 AMC 12 Problema 31

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años