1968 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Si el diámetro de un círculo aumenta $\pi$ unidades y, como resultado, su circunferencia aumenta $P$ unidades, entonces $P$ es igual a:

Let $P$ units be the increase in the circumference of a circle resulting from an increase of $\pi$ units in the diameter. Then $P$ equals:

$\dfrac1\pi$

$\pi$

$\dfrac{\pi^2}{2}$

$\pi^2$

$2\pi$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

Expresa la circunferencia como $\pi d$

Write circumference as $\pi d$

Pista grande:

Sustituye $d$ por $d+\pi$ y resta

Replace $d$ by $d+\pi$ and subtract

Solución:

La circunferencia original es $\pi d.$ Después de que el diámetro aumenta $\pi,$ es $\pi(d+\pi).$ Por lo tanto, el aumento es $\pi(d+\pi)-\pi d=\pi^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The original circumference is $\pi d.$ After the diameter increases by $\pi,$ it is $\pi(d+\pi).$ The increase is therefore $\pi(d+\pi)-\pi d=\pi^2.$

Therefore, the correct answer is D.

2.

El valor real de $x$ para el cual $64^{x-1}$ dividido entre $4^{x-1}$ es igual a $256^{2x}$ es:

The real value of $x$ such that $64^{x-1}$ divided by $4^{x-1}$ equals $256^{2x}$ is:

$-\dfrac23$

$-\dfrac13$

$0$

$\dfrac14$

$\dfrac38$

Respuesta: B

Conceptos:exponente ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Combina el cociente porque las potencias tienen el mismo exponente

Combine the quotient because its powers have the same exponent

Pista grande:

Expresa ambos lados como potencias de $16$

Write both sides as powers of $16$

Solución:

El lado izquierdo es $(\frac{64}{4})^{x-1}=16^{x-1},$ mientras que $256^{2x}=(16^2)^{2x}=16^{4x}.$ Por consiguiente, $x-1=4x,$ así que $x=-\frac{1}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The left side is $(\frac{64}{4})^{x-1}=16^{x-1},$ while $256^{2x}=(16^2)^{2x}=16^{4x}.$ Hence $x-1=4x,$ so $x=-\frac{1}{3}.$

Therefore, the correct answer is B.

3.

Una recta que pasa por el punto $(0,4)$ es perpendicular a la recta $x-3y-7=0.$ Su ecuación es:

A straight line passing through the point $(0,4)$ is perpendicular to the line $x-3y-7=0.$ Its equation is:

$y+3x-4=0$

$y+3x+4=0$

$y-3x-4=0$

$3y+x-12=0$

$3y-x-12=0$

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica pendiente ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

La recta dada tiene pendiente $\frac{1}{3}$

The given line has slope $\frac{1}{3}$

Pista grande:

Usa la pendiente recíproca negativa en una recta que pasa por $(0,4)$

Use the negative reciprocal slope through $(0,4)$

Solución:

La recta dada tiene pendiente $\frac{1}{3},$ así que una recta perpendicular tiene pendiente $-3.$ Al pasar por $(0,4)$ , su ecuación es $y=-3x+4,$ o bien $y+3x-4=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The given line has slope $\frac{1}{3},$ so a perpendicular line has slope $-3.$ Through $(0,4)$ its equation is $y=-3x+4,$ or $y+3x-4=0.$

Therefore, the correct answer is A.

4.

Se define una operación $*$ para números reales positivos mediante $a*b=\dfrac{ab}{a+b}.$ Entonces $4*(4*4)$ es igual a:

Define an operation $*$ for positive real numbers by $a*b=\dfrac{ab}{a+b}.$ Then $4*(4*4)$ equals:

$\dfrac34$

$1$

$\dfrac43$

$2$

$\dfrac{16}{3}$

Respuesta: C

Conceptos:operación personalizada fracción sustitución

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Evalúa primero la operación interior

Evaluate the inner operation first

Pista grande:

Después de hallar $4*4,$ sustituye el resultado como segundo argumento

After finding $4*4,$ substitute it as the second input

Solución:

Primero, $4*4=\frac{16}{8}=2.$ Por lo tanto, $4*(4*4)=4*2,$ que es igual a $\frac{8}{4+2}=\frac{4}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

First, $4*4=\frac{16}{8}=2.$ Therefore $4*(4*4)=4*2,$ which equals $\frac{8}{4+2}=\frac{4}{3}.$

Therefore, the correct answer is C.

5.

Si $f(n)=\dfrac13n(n+1)(n+2),$ entonces $f(r)-f(r-1)$ es igual a:

If $f(n)=\dfrac13n(n+1)(n+2),$ then $f(r)-f(r-1)$ equals:

$r(r+1)$

$(r+1)(r+2)$

$\dfrac13r(r+1)$

$\dfrac13(r+1)(r+2)$

$\dfrac13r(r+1)(r+2)$

Respuesta: A

Conceptos:función factorización

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Sustituye $r$ y $r-1$ por separado

Substitute $r$ and $r-1$ separately

Pista grande:

Extrae el factor común $\frac13r(r+1)$

Factor out $\frac13r(r+1)$

Solución:

Tenemos $f(r)=\frac13r(r+1)(r+2)$ y $f(r-1)=\frac13(r-1)r(r+1).$ Su diferencia se factoriza como $\frac13r(r+1)$ multiplicado por $(r+2)-(r-1)=3.$ El resultado es $r(r+1).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $f(r)=\frac13r(r+1)(r+2)$ and $f(r-1)=\frac13(r-1)r(r+1).$ Factor their difference as $\frac13r(r+1)$ times $(r+2)-(r-1)=3.$ The result is $r(r+1).$

Therefore, the correct answer is A.

6.

Se prolonga el lado $AD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$ más allá de $D,$ y se prolonga el lado $BC$ más allá de $C,$ hasta que se cortan en el punto $E.$ Sea $S$ la suma, en grados, de los ángulos $CDE$ y $DCE,$ y sea $S'$ la suma, en grados, de los ángulos $BAD$ y $ABC.$ Si $r=\frac{S}{S'},$ entonces:

Let side $AD$ of convex quadrilateral $ABCD$ be extended through $D,$ and let side $BC$ be extended through $C,$ to meet in point $E.$ Let $S$ represent the degree-sum of angles $CDE$ and $DCE,$ and let $S'$ represent the degree-sum of angles $BAD$ and $ABC.$ If $r=\frac{S}{S'},$ then:

a veces $r=1$ y a veces $r\gt1$

$r=1$ sometimes, $r\gt1$ sometimes

a veces $r=1$ y a veces $r\lt1$

$r=1$ sometimes, $r\lt1$ sometimes

$0\lt r\lt1$

$r\gt1$

$r=1$

Respuesta: E

Conceptos:suma de ángulos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Expresa ambas sumas en función del ángulo $E$

Express both sums using angle $E$

Pista grande:

Aplica la suma de ángulos de un triángulo a $ECD$ y $EAB$

Apply the triangle angle sum to $ECD$ and $EAB$

Solución:

En el triángulo $ECD,$ $S=180^\circ-\angle E.$ Como $D$ está en $AE$ y $C$ está en $BE,$ el triángulo $EAB$ también da $S'=180^\circ-\angle E.$ Por tanto, $S=S'$ y $r=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In triangle $ECD,$ $S=180^\circ-\angle E.$ Since $D$ lies on $AE$ and $C$ lies on $BE,$ triangle $EAB$ gives $S'=180^\circ-\angle E$ as well. Thus $S=S'$ and $r=1.$

Therefore, the correct answer is E.

7.

Sea $O$ el punto de intersección de las medianas $AP$ y $CQ$ del triángulo $ABC.$ Si $OQ$ mide $3$ pulgadas, entonces $OP,$ en pulgadas, es:

Let $O$ be the intersection point of medians $AP$ and $CQ$ of triangle $ABC.$ If $OQ$ is $3$ inches, then $OP,$ in inches, is:

$3$

$\dfrac92$

$6$

$9$

indeterminado

undetermined

Respuesta: E

Conceptos:baricentro mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

El baricentro da una razón únicamente sobre cada mediana por separado

A centroid gives a ratio only along each individual median

Pista grande:

Conocer una parte de $CQ$ no determina la longitud de $AP$

Knowing part of $CQ$ does not determine the length of $AP$

Solución:

El baricentro divide cada mediana en razón $2:1$ , por lo que $OQ=3$ determina $CQ=9.$ Esto no establece ninguna relación entre las longitudes de las dos medianas distintas $CQ$ y $AP.$ Hay triángulos con $CQ=9$ y distintos valores de $AP,$ así que $OP$ es indeterminado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The centroid divides each median in a $2:1$ ratio, so $OQ=3$ determines $CQ=9.$ It gives no relation between the lengths of the two different medians $CQ$ and $AP.$ Triangles with $CQ=9$ can have different $AP,$ so $OP$ is undetermined.

Therefore, the correct answer is E.

8.

Por error, un número positivo se divide entre $6$ en vez de multiplicarse por $6.$ Tomando como referencia el resultado correcto, el error porcentual cometido, redondeado al entero más cercano, es:

A positive number is mistakenly divided by $6$ instead of being multiplied by $6.$ Based on the correct answer, the error thus committed, to the nearest percent, is:

$100$

$97$

$83$

$17$

$3$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje fracción

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Sea $N$ el número y compara $\frac{N}{6}$ con $6N$

Let the number be $N$ and compare $\frac{N}{6}$ with $6N$

Pista grande:

Divide el error absoluto entre el resultado correcto

Divide the absolute error by the correct result

Solución:

El resultado correcto es $6N,$ mientras que el resultado erróneo es $\frac{N}{6}.$ Con respecto al resultado correcto, el error es $\frac{6N-\frac{N}{6}}{6N}=\frac{35}{36}\approx97.2\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The correct result is $6N,$ while the mistaken result is $\frac{N}{6}.$ Relative to the correct result, the error is $\frac{6N-\frac{N}{6}}{6N}=\frac{35}{36}\approx97.2\%.$

Therefore, the correct answer is B.

9.

La suma de los valores reales de $x$ que satisfacen $\lvert x+2\rvert=2\lvert x-2\rvert$ es:

The sum of the real values of $x$ satisfying $\lvert x+2\rvert=2\lvert x-2\rvert$ is:

$\dfrac13$

$\dfrac23$

$6$

$6\dfrac13$

$6\dfrac23$

Respuesta: E

Conceptos:valor absoluto cuadrática Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Eleva ambos lados al cuadrado; los dos son no negativos

Square both sides; both sides are nonnegative

Pista grande:

Usa la suma de las raíces de la ecuación cuadrática resultante

Use the sum of the roots of the resulting quadratic

Solución:

Al elevar al cuadrado se obtiene $(x+2)^2=4(x-2)^2,$ o $3x^2-20x+12=0.$ Ambas raíces satisfacen la ecuación original con valores absolutos, y su suma es $\frac{20}{3}=6\frac23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Squaring gives $(x+2)^2=4(x-2)^2,$ or $3x^2-20x+12=0.$ Both roots satisfy the original absolute-value equation, and their sum is $\frac{20}{3}=6\frac23.$

Therefore, the correct answer is E.

10.

Supón que, en cierta escuela, son verdaderas las afirmaciones

$\mathrm{I}:$ Algunos estudiantes no son honestos.

$\mathrm{II}:$ Todos los miembros de la fraternidad son honestos.

Una conclusión necesaria es:

Assume that, for a certain school, it is true that

$\mathrm{I}:$ Some students are not honest.

$\mathrm{II}:$ All fraternity members are honest.

A necessary conclusion is:

Algunos estudiantes son miembros de la fraternidad

Some students are fraternity members

Algunos miembros de la fraternidad no son estudiantes

Some fraternity members are not students

Algunos estudiantes no son miembros de la fraternidad

Some students are not fraternity members

Ningún miembro de la fraternidad es estudiante

No fraternity member is a student

Ningún estudiante es miembro de la fraternidad

No student is a fraternity member

Respuesta: C

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Elige un estudiante cuya existencia esté garantizada por la afirmación $\mathrm{I}$

Choose a student whose existence is guaranteed by statement $\mathrm{I}$

Pista grande:

Según la afirmación $\mathrm{II}$ , ¿podría ese estudiante deshonesto pertenecer a la fraternidad?

Could that dishonest student be a fraternity member under statement $\mathrm{II}?$

Solución:

La afirmación $\mathrm{I}$ garantiza la existencia de un estudiante deshonesto. La afirmación $\mathrm{II}$ dice que todos los miembros de la fraternidad son honestos, por lo que ese estudiante deshonesto no puede pertenecer a ella. Por consiguiente, algún estudiante no es miembro de la fraternidad.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Statement $\mathrm{I}$ guarantees a dishonest student. Statement $\mathrm{II}$ says every fraternity member is honest, so that dishonest student cannot be a fraternity member. Hence some student is not a fraternity member.

Therefore, the correct answer is C.

11.

Si un arco de $60^\circ$ del círculo $\mathrm{I}$ tiene la misma longitud que un arco de $45^\circ$ del círculo $\mathrm{II},$ la razón entre el área del círculo $\mathrm{I}$ y la del círculo $\mathrm{II}$ es:

If an arc of $60^\circ$ on circle $\mathrm{I}$ has the same length as an arc of $45^\circ$ on circle $\mathrm{II},$ the ratio of the area of circle $\mathrm{I}$ to that of circle $\mathrm{II}$ is:

$16:9$

$9:16$

$4:3$

$3:4$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:arco área del círculo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Iguala $(\frac{\theta}{360^\circ})2\pi r$ para los dos arcos

Equate $(\frac{\theta}{360^\circ})2\pi r$ for the two arcs

Pista grande:

Eleva al cuadrado la razón de radios resultante para obtener la razón de áreas

Square the resulting radius ratio to get the area ratio

Solución:

La igualdad de las longitudes de arco da $60r_1=45r_2,$ por lo que $\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}.$ Las áreas de los círculos varían como los cuadrados de sus radios, lo que da $A_1:A_2=9:16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Equal arc lengths give $60r_1=45r_2,$ so $\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}.$ Circle areas scale as the squares of the radii, giving $A_1:A_2=9:16.$

Therefore, the correct answer is B.

12.

Un círculo pasa por los vértices de un triángulo cuyas longitudes de lado son $7\dfrac12,$ $10,$ $12\dfrac12.$ El radio del círculo es:

A circle passes through the vertices of a triangle with side-lengths $7\dfrac12,$ $10,$ $12\dfrac12.$ The radius of the circle is:

$\dfrac{15}{4}$

$5$

$\dfrac{25}{4}$

$\dfrac{35}{4}$

$\dfrac{15\sqrt2}{2}$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo rectángulo circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Las longitudes de los lados son $\frac{5}{2}$ veces una terna pitagórica conocida

The side lengths are $\frac{5}{2}$ times a familiar Pythagorean triple

Pista grande:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro de su circunferencia circunscrita

A right triangle’s hypotenuse is the circumcircle’s diameter

Solución:

Los lados son $\frac52(3,4,5),$ así que el triángulo es rectángulo y su hipotenusa mide $\frac{25}{2}.$ La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia circunscrita, de modo que el radio es $\frac{25}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sides are $\frac52(3,4,5),$ so the triangle is right with hypotenuse $\frac{25}{2}.$ The hypotenuse is the circumdiameter, making the radius $\frac{25}{4}.$

Therefore, the correct answer is C.

13.

Si $m$ y $n$ son las raíces de $x^2+mx+n=0,$ con $m\ne0$ y $n\ne0,$ entonces la suma de las raíces es:

If $m$ and $n$ are the roots of $x^2+mx+n=0,$ $m\ne0,$ $n\ne0,$ then the sum of the roots is:

$-\dfrac12$

$-1$

$\dfrac12$

$1$

indeterminada

undetermined

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Usa tanto la suma como el producto en las fórmulas de Vieta

Use both the sum and product forms of Vieta’s formulas

Pista grande:

La ecuación del producto y $n\ne0$ determinan $m$

The product equation and $n\ne0$ determine $m$

Solución:

Como las raíces son $m,$ $n,$ las fórmulas de Vieta dan $m+n=-m$ y $mn=n.$ Dado que $n\ne0,$ la segunda ecuación da $m=1,$ y entonces $n=-2.$ Su suma es $-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because the roots are $m,$ $n,$ Vieta gives $m+n=-m$ and $mn=n.$ Since $n\ne0,$ the second equation gives $m=1,$ and then $n=-2.$ Their sum is $-1.$

Therefore, the correct answer is B.

14.

Si $x$ y $y$ son números no nulos tales que $x=1+\dfrac1y$ y $y=1+\dfrac1x,$ entonces $y$ es igual a:

If $x$ and $y$ are nonzero numbers such that $x=1+\dfrac1y$ and $y=1+\dfrac1x,$ then $y$ equals:

$x-1$

$1-x$

$1+x$

$-x$

$x$

Respuesta: E

Conceptos:ecuación racional sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Multiplica cada ecuación por su denominador

Multiply each equation by its denominator

Pista grande:

Ambas ecuaciones producen una expresión para $xy$

Both equations produce an expression for $xy$

Solución:

Las ecuaciones dan $xy=y+1$ y $xy=x+1.$ Por lo tanto, $x+1=y+1,$ así que $y=x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The equations give $xy=y+1$ and $xy=x+1.$ Therefore $x+1=y+1,$ so $y=x.$

Therefore, the correct answer is E.

15.

Sea $P$ el producto de tres enteros positivos impares consecutivos cualesquiera. El mayor entero que divide a todos esos valores de $P$ es:

Let $P$ be the product of any three consecutive positive odd integers. The largest integer dividing all such $P$ is:

$15$

$6$

$5$

$3$

$1$

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Examina los residuos módulo $3$ de tres enteros impares consecutivos

Among three consecutive odd integers, inspect residues modulo $3$

Pista grande:

Usa dos ejemplos para descartar cualquier divisor común mayor

Use two examples to rule out every larger common divisor

Solución:

Tres enteros impares consecutivos ocupan tres residuos consecutivos módulo $3,$ de modo que uno es divisible entre $3.$ Por tanto, todo producto es divisible entre $3.$ Los productos $1\cdot3\cdot5=15$ y $7\cdot9\cdot11=693$ tienen máximo común divisor $3,$ así que ningún entero mayor divide siempre al producto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Three consecutive odd integers occupy three consecutive residues modulo $3,$ so one is divisible by $3.$ Thus every product is divisible by $3.$ The products $1\cdot3\cdot5=15$ and $7\cdot9\cdot11=693$ have greatest common divisor $3,$ so no larger integer always divides the product.

Therefore, the correct answer is D.

16.

Si $x$ satisface $\dfrac1x\lt2$ y $\dfrac1x\gt-3,$ entonces:

If $x$ is such that $\dfrac1x\lt2$ and $\dfrac1x\gt-3,$ then:

$-\dfrac13\lt x\lt\dfrac12$

$-\dfrac12\lt x\lt3$

$x\gt\dfrac12$

$x\gt\dfrac12$ o $-\dfrac13\lt x\lt0$

$x\gt\dfrac12$ or $-\dfrac13\lt x\lt0$

$x\gt\dfrac12$ o $x\lt-\dfrac13$

$x\gt\dfrac12$ or $x\lt-\dfrac13$

Respuesta: E

Conceptos:desigualdad ecuación racional análisis por casos

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Combina las condiciones como $-3\lt\frac{1}{x}\lt2$

Combine the conditions as $-3\lt\frac{1}{x}\lt2$

Pista grande:

Al tomar recíprocos, considera por separado los valores positivos y negativos de $x$

Treat positive and negative $x$ separately when taking reciprocals

Solución:

Para $x\gt0,$ $\frac{1}{x}\lt2$ da $x\gt\frac{1}{2},$ mientras que la otra desigualdad se cumple automáticamente. Para $x\lt0,$ $\frac{1}{x}\gt-3$ da $x\lt-\frac{1}{3},$ mientras que la primera se cumple automáticamente. Por tanto, $x\gt\frac{1}{2}$ o $x\lt-\frac{1}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $x\gt0,$ $\frac{1}{x}\lt2$ gives $x\gt\frac{1}{2},$ while the other inequality is automatic. For $x\lt0,$ $\frac{1}{x}\gt-3$ gives $x\lt-\frac{1}{3},$ while the first is automatic. Thus $x\gt\frac{1}{2}$ or $x\lt-\frac{1}{3}.$

Therefore, the correct answer is E.

17.

Sea $f(n)=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},$ donde $n$ es un entero positivo. Si $x_k=(-1)^k,$ para $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n,$ el conjunto de valores posibles de $f(n)$ es:

Let $f(n)=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},$ where $n$ is a positive integer. If $x_k=(-1)^k,$ $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n,$ the set of possible values of $f(n)$ is:

$\{0\}$

$\left\{\dfrac1n\right\}$

$\left\{0,-\dfrac1n\right\}$

$\left\{0,\dfrac1n\right\}$

$\left\{1,\dfrac1n\right\}$

Respuesta: C

Conceptos:paridad sumatoria media

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Agrupa términos consecutivos como $-1+1$

Pair consecutive terms $-1+1$

Pista grande:

Considera por separado los valores pares e impares de $n$

Separate even and odd values of $n$

Solución:

Si $n$ es par, los términos se agrupan para dar suma $0,$ así que $f(n)=0.$ Si $n$ es impar, queda un último $-1,$ así que $f(n)=-\frac{1}{n}.$ Por lo tanto, los valores posibles son $\{0,-\frac{1}{n}\}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $n$ is even, the terms pair to give sum $0,$ so $f(n)=0.$ If $n$ is odd, one final $-1$ remains, so $f(n)=-\frac{1}{n}.$ The possible values are therefore $\{0,-\frac{1}{n}\}.$

Therefore, the correct answer is C.

18.

El lado $AB$ del triángulo $ABC$ mide $8$ pulgadas. Se traza la recta $DEF$ paralela a $AB$ , con $D$ en el segmento $AC$ y $E$ en el segmento $BC.$ La prolongación de la recta $AE$ biseca el ángulo $FEC.$ Si $DE$ mide $5$ pulgadas, entonces la longitud de $CE,$ en pulgadas, es:

Side $AB$ of triangle $ABC$ has length $8$ inches. Line $DEF$ is drawn parallel to $AB$ so that $D$ is on segment $AC,$ and $E$ is on segment $BC.$ Line $AE$ extended bisects angle $FEC.$ If $DE$ has length $5$ inches, then the length of $CE,$ in inches, is:

$\dfrac{51}{4}$

$13$

$\dfrac{53}{4}$

$\dfrac{40}{3}$

$\dfrac{27}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:semejanza bisectriz rectas paralelas

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Toma $G$ en la prolongación de $AE$ más allá de $E$ , de modo que la condición de la bisectriz sea $\angle FEG=\angle GEC$

Put $G$ on the extension of $AE$ beyond $E$ , so the bisector condition is $\angle FEG=\angle GEC$

Pista grande:

Después de demostrar $BE=AB,$ usa la semejanza de $CDE$ y $CAB$

After showing $BE=AB,$ use similarity of $CDE$ and $CAB$

Solución:

Toma $G$ en la prolongación de $AE$ más allá de $E.$ La condición de la bisectriz da $\angle FEG=\angle GEC.$ Como $FE\parallel AB,$ tenemos $\angle FEG=\angle BAE.$ Además, los rayos $EG$ y $EA$ son opuestos, al igual que los rayos $EC$ y $EB,$ por lo que $\angle GEC=\angle AEB.$ Así, el triángulo $ABE$ es isósceles y $BE=AB=8.$ Los triángulos semejantes $CDE$ y $CAB$ dan $\frac{CE}{CE+8}=\frac58.$ Por consiguiente, $8CE=5CE+40,$ y $CE=\frac{40}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put $G$ on the extension of $AE$ beyond $E.$ The bisector condition gives $\angle FEG=\angle GEC.$ Since $FE\parallel AB,$ we have $\angle FEG=\angle BAE.$ Also, rays $EG$ and $EA$ are opposite, as are rays $EC$ and $EB,$ so $\angle GEC=\angle AEB.$ Thus triangle $ABE$ is isosceles and $BE=AB=8.$ Similar triangles $CDE$ and $CAB$ give $\frac{CE}{CE+8}=\frac58.$ Hence $8CE=5CE+40,$ so $CE=\frac{40}{3}.$

Therefore, the correct answer is D.

19.

Sea $n$ el número de maneras de cambiar $10$ dólares en monedas de diez y de veinticinco centavos, usando al menos una moneda de cada tipo. Entonces $n$ es igual a:

Let $n$ be the number of ways that $10$ dollars can be changed into dimes and quarters, with at least one of each coin being used. Then $n$ equals:

$40$

$38$

$21$

$20$

$19$

Respuesta: E

Conceptos:Ecuación diofántica conteo de enteros en un rango divisibilidad

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

En centavos, resuelve $10d+25q=1000$

In cents, solve $10d+25q=1000$

Pista grande:

Usa la paridad para escribir $q=2k$ y luego exige cantidades positivas de ambas monedas

Use parity to write $q=2k$ , then enforce positive coin counts

Solución:

La ecuación $10d+25q=1000$ se reduce a $2d+5q=200.$ Por lo tanto, $q$ debe ser par; escribe $q=2k,$ lo que da $d=100-5k.$ La positividad exige $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $19,$ así que hay $19$ maneras.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The equation $10d+25q=1000$ reduces to $2d+5q=200.$ Thus $q$ must be even; write $q=2k,$ giving $d=100-5k.$ Positivity requires $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $19,$ so there are $19$ ways.

Therefore, the correct answer is E.

20.

Las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de $n$ lados están en progresión aritmética. Si la diferencia común es $5^\circ$ y el ángulo mayor es $160^\circ,$ entonces $n$ es igual a:

The measures of the interior angles of a convex polygon of $n$ sides are in arithmetic progression. If the common difference is $5^\circ$ and the largest angle is $160^\circ,$ then $n$ equals:

$9$

$10$

$12$

$16$

$32$

Respuesta: A

Conceptos:suma de ángulos sucesión aritmética cuadrática

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Expresa el ángulo menor como $160-5(n-1)$

Write the smallest angle as $160-5(n-1)$

Pista grande:

Iguala la suma de la progresión aritmética a $180(n-2)$

Equate the arithmetic-series sum to $180(n-2)$

Solución:

El ángulo menor es $160-5(n-1).$ La suma de los ángulos es $\frac n2$ multiplicado por $320-5(n-1),$ y es igual a $180(n-2).$ Esto se simplifica a $\begin{aligned} n^2+7n-144&=0,\\ (n-9)(n+16)&=0. \end{aligned}$ Por tanto, $n=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The smallest angle is $160-5(n-1).$ The angle sum is $\frac n2$ times $320-5(n-1),$ and it equals $180(n-2).$ This simplifies to $\begin{aligned} n^2+7n-144&=0,\\ (n-9)(n+16)&=0. \end{aligned}$ Thus $n=9.$

Therefore, the correct answer is A.

21.

Si $S=1!+2!+3!+\cdots+99!,$ entonces el dígito de las unidades de $S$ es:

If $S=1!+2!+3!+\cdots+99!,$ then the units digit in the value of $S$ is:

$9$

$8$

$5$

$3$

$0$

Respuesta: D

Conceptos:factorial dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Todo factorial desde $5!$ en adelante termina en cero

Every factorial from $5!$ onward ends in zero

Pista grande:

Suma únicamente los dígitos de las unidades de los primeros cuatro términos

Only add the units digits of the first four terms

Solución:

Para $k\ge5,$ $k!$ es divisible entre $10.$ Solo importan los primeros cuatro términos. Su suma es $1+2+6+24=33,$ cuyo dígito de las unidades es $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $k\ge5,$ $k!$ is divisible by $10.$ Only the first four terms matter. Their sum is $1+2+6+24=33,$ whose units digit is $3.$

Therefore, the correct answer is D.

22.

Un segmento de longitud $1$ se divide en cuatro segmentos. Existe un cuadrilátero cuyos lados son esos cuatro segmentos si y solo si cada segmento es:

A segment of length $1$ is divided into four segments. Then there exists a quadrilateral with the four segments as sides if and only if each segment is:

igual a $\dfrac14$

equal to $\dfrac14$

mayor o igual que $\dfrac18$ y menor que $\dfrac12$

equal to or greater than $\dfrac18$ and less than $\dfrac12$

mayor que $\dfrac18$ y menor que $\dfrac12$

greater than $\dfrac18$ and less than $\dfrac12$

mayor que $\dfrac18$ y menor que $\dfrac14$

greater than $\dfrac18$ and less than $\dfrac14$

menor que $\dfrac12$

less than $\dfrac12$

Respuesta: E

Conceptos:desigualdad triangular perímetro

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Un cuadrilátero no degenerado existe exactamente cuando el lado más largo es menor que la suma de los otros tres

A nondegenerate quadrilateral exists exactly when the longest side is shorter than the other three combined

Pista grande:

Las cuatro longitudes suman $1$

The four lengths sum to $1$

Solución:

Un cuadrilátero simple no degenerado existe exactamente cuando cada lado es menor que la suma de los otros tres. Como el total es $1,$ para cada segmento esta condición es $s\lt1-s,$ o $s\lt\frac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A simple nondegenerate quadrilateral exists exactly when each side is less than the sum of the other three. Since the total is $1,$ this condition is $s\lt1-s,$ or $s\lt\frac{1}{2},$ for every segment.

Therefore, the correct answer is E.

23.

Si todos los logaritmos son números reales, la igualdad

$\begin{aligned} \log(x+3)+\log(x-1)\\ =\log(x^2-2x-3) \end{aligned}$

se satisface para:

If all the logarithms are real numbers, the equality

$\begin{aligned} \log(x+3)+\log(x-1)\\ =\log(x^2-2x-3) \end{aligned}$

is satisfied for:

todos los valores reales de $x$

all real values of $x$

ningún valor real de $x$

no real values of $x$

todos los valores reales de $x$ excepto $x=0$

all real values of $x$ except $x=0$

ningún valor real de $x$ excepto $x=0$

no real values of $x$ except $x=0$

todos los valores reales de $x$ excepto $x=1$

all real values of $x$ except $x=1$

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo ecuación racional

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Combina los dos logaritmos del lado izquierdo

Combine the two logarithms on the left

Pista grande:

Resuelve la ecuación algebraica resultante y luego comprueba su dominio

Solve the resulting algebraic equation, then test its domain

Solución:

Combinar los logaritmos exigiría $(x+3)(x-1)=x^2-2x-3.$ Esto da $x=0.$ Pero entonces $x-1=-1,$ de modo que el logaritmo de la izquierda no es real. Por consiguiente, no hay soluciones reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Combining logarithms would require $(x+3)(x-1)=x^2-2x-3.$ This gives $x=0.$ But then $x-1=-1,$ so the logarithm on the left is not real. Hence there are no real solutions.

Therefore, the correct answer is B.

24.

Se colocará una pintura de $18''\times24''$ en un marco de madera, con la dimensión mayor en posición vertical. La madera de arriba y abajo tiene el doble de ancho que la de los lados. Si el área del marco es igual a la de la pintura, la razón entre la dimensión menor y la mayor de la pintura enmarcada es:

A painting $18''\times24''$ is to be placed into a wooden frame with the longer dimension vertical. The wood at the top and bottom is twice as wide as the wood on the sides. If the frame area equals that of the painting itself, the ratio of the smaller to the larger dimension of the framed painting is:

$1:3$

$1:2$

$2:3$

$3:4$

$1:1$

Respuesta: C

Conceptos:rectángulo área cuadrática razón y proporción

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Sea $x$ el ancho de cada franja lateral, de modo que cada franja superior e inferior mide $2x$

Let each side strip have width $x$ , so each top strip has width $2x$

Pista grande:

Iguala el área exterior al doble de $18\cdot24$

Set the outside area equal to twice $18\cdot24$

Solución:

Las dimensiones exteriores son $18+2x$ y $24+4x.$ Como el área del marco es igual a la de la pintura, $(18+2x)(24+4x)=2(18)(24).$ Esto da $x^2+15x-54=0,$ así que $x=3.$ Las dimensiones son $24$ y $36,$ cuya razón es $2:3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The outside dimensions are $18+2x$ and $24+4x.$ Since the frame area equals the painting area, $(18+2x)(24+4x)=2(18)(24).$ This gives $x^2+15x-54=0,$ so $x=3.$ The dimensions are $24$ and $36,$ with ratio $2:3.$

Therefore, the correct answer is C.

25.

Ace corre a velocidad constante y Flash corre $x$ veces más rápido, con $x\gt1.$ Flash le da a Ace una ventaja de $y$ yardas y, al recibir una señal, ambos parten en la misma dirección. Entonces la cantidad de yardas que Flash debe correr para alcanzar a Ace es:

Ace runs with constant speed and Flash runs $x$ times as fast, $x\gt1.$ Flash gives Ace a head start of $y$ yards, and, at a given signal, they start off in the same direction. Then the number of yards Flash must run to catch Ace is:

$xy$

$\dfrac{y}{x+y}$

$\dfrac{xy}{x-1}$

$\dfrac{x+y}{x+1}$

$\dfrac{x+y}{x-1}$

Respuesta: C

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Si la velocidad de Ace es $v,$ la velocidad relativa es $(x-1)v$

If Ace’s speed is $v,$ the closing speed is $(x-1)v$

Pista grande:

Multiplica el tiempo de alcance por la velocidad $xv$ de Flash

Multiply the catch-up time by Flash’s speed $xv$

Solución:

Si Ace corre a velocidad $v,$ Flash corre a $xv,$ por lo que su velocidad relativa es $(x-1)v.$ El tiempo para alcanzarlo es $\frac{y}{(x-1)v},$ durante el cual Flash recorre $\frac{xv\cdot y}{(x-1)v}=\frac{xy}{x-1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If Ace runs at speed $v,$ Flash runs at $xv,$ so their closing speed is $(x-1)v.$ The catch-up time is $\frac{y}{(x-1)v},$ during which Flash runs $\frac{xv\cdot y}{(x-1)v}=\frac{xy}{x-1}.$

Therefore, the correct answer is C.

26.

Sea $S=2+4+6+\cdots+2N,$ donde $N$ es el menor entero positivo tal que $S\gt1{,}000{,}000.$ Entonces la suma de los dígitos de $N$ es:

Let $S=2+4+6+\cdots+2N,$ where $N$ is the smallest positive integer such that $S\gt1{,}000{,}000.$ Then the sum of the digits of $N$ is:

$27$

$12$

$6$

$2$

$1$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética desigualdad dígitos

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

La suma es $N(N+1)$

The sum is $N(N+1)$

Pista grande:

Compara $999\cdot1000$ y $1000\cdot1001$ con un millón

Compare $999\cdot1000$ and $1000\cdot1001$ with one million

Solución:

Tenemos $S=N(N+1).$ Para $N=999,$ resulta $999{,}000\lt1{,}000{,}000,$ mientras que para $N=1000$ resulta $1{,}001{,}000.$ Por tanto, $N=1000,$ cuya suma de dígitos es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have $S=N(N+1).$ For $N=999,$ this is $999{,}000\lt1{,}000{,}000,$ while for $N=1000$ it is $1{,}001{,}000.$ Thus $N=1000,$ whose digit sum is $1.$

Therefore, the correct answer is E.

27.

Sea

$\begin{aligned} S_n&=1-2+3-4+\cdots\\ &\quad+(-1)^{n-1}n. \end{aligned}$

Aquí $n=1,$ $2,$ $\ldots.$ Entonces $S_{17}+S_{33}+S_{50}$ es igual a:

Let

$\begin{aligned} S_n&=1-2+3-4+\cdots\\ &\quad+(-1)^{n-1}n. \end{aligned}$

Here $n=1,$ $2,$ $\ldots.$ Then $S_{17}+S_{33}+S_{50}$ equals:

$0$

$1$

$2$

$-1$

$-2$

Respuesta: B

Conceptos:paridad sumatoria emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Agrupa los términos como $(1-2)+(3-4)+\cdots$

Pair terms as $(1-2)+(3-4)+\cdots$

Pista grande:

Para $n$ par, $S_n=-\frac{n}{2};$ para $n$ impar, $S_n=\frac{n+1}{2}$

For even $n,$ $S_n=-\frac{n}{2};$ for odd $n,$ $S_n=\frac{n+1}{2}$

Solución:

Al agrupar se obtiene $S_n=-\frac{n}{2}$ para $n$ par y $S_n=\frac{n+1}{2}$ para $n$ impar. Por consiguiente, $S_{17}=9,$ $S_{33}=17,$ $S_{50}=-25,$ y su suma es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Pairing gives $S_n=-\frac{n}{2}$ for even $n$ and $S_n=\frac{n+1}{2}$ for odd $n.$ Hence $S_{17}=9,$ $S_{33}=17,$ $S_{50}=-25,$ and their sum is $1.$

Therefore, the correct answer is B.

28.

Si la media aritmética de $a$ y $b$ es el doble de su media geométrica, con $a\gt b\gt0,$ entonces un posible valor de la razón $\frac{a}{b},$ redondeado al entero más cercano, es:

If the arithmetic mean of $a$ and $b$ is double their geometric mean, with $a\gt b\gt0,$ then a possible value for the ratio $\frac{a}{b},$ to the nearest integer, is:

$5$

$8$

$11$

$14$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:Desigualdad MA-MG cuadrática razón y proporción

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Sea $t=\frac{a}{b}$ y divide la ecuación de las medias entre $b$

Set $t=\frac{a}{b}$ and divide the mean equation by $b$

Pista grande:

La ecuación $t+1=4\sqrt t$ se vuelve cuadrática después de elevarla al cuadrado

The equation $t+1=4\sqrt t$ becomes quadratic after squaring

Solución:

Sea $t=\frac{a}{b}\gt1.$ La condición da $\frac{t+1}{2}=2\sqrt t,$ por lo que $t^2-14t+1=0.$ La raíz mayor que $1$ es $t=7+4\sqrt3\approx13.93,$ cuyo entero más cercano es $14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $t=\frac{a}{b}\gt1.$ The condition gives $\frac{t+1}{2}=2\sqrt t,$ so $t^2-14t+1=0.$ The root greater than $1$ is $t=7+4\sqrt3\approx13.93,$ whose nearest integer is $14.$

Therefore, the correct answer is D.

29.

Dados los tres números $x,$ $y=x^x,$ $z=x^{(x^x)},$ con $0.9\lt x\lt1.0.$ Ordenados de menor a mayor, son:

Given the three numbers $x,$ $y=x^x,$ $z=x^{(x^x)},$ with $0.9\lt x\lt1.0.$ Arranged in order of increasing magnitude, they are:

$x,$ $z,$ $y$

$x,$ $y,$ $z$

$y,$ $x,$ $z$

$y,$ $z,$ $x$

$z,$ $x,$ $y$

Respuesta: A

Conceptos:exponente desigualdad

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Para $0\lt x\lt1,$ compara las potencias mediante sus exponentes positivos

For $0\lt x\lt1,$ compare powers by comparing their positive exponents

Pista grande:

Primero demuestra $x\lt x^x\lt1$ y luego compara $x^{x^x}$

First show $x\lt x^x\lt1$ , then compare $x^{x^x}$

Solución:

Como $0\lt x\lt1$ y $x\lt1,$ elevar $x$ al exponente $x$ da $x\lt y=x^x\lt1.$ Para una base entre $0$ y $1,$ un exponente mayor produce un valor menor. Como $x\lt y\lt1,$ tenemos $x=x^1\lt x^y=z\lt x^x=y.$ Así, $x\lt z\lt y.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $0\lt x\lt1$ and $x\lt1,$ raising $x$ to the exponent $x$ gives $x\lt y=x^x\lt1.$ For a base between $0$ and $1,$ a larger exponent gives a smaller value. Because $x\lt y\lt1,$ we have $x=x^1\lt x^y=z\lt x^x=y.$ Thus $x\lt z\lt y.$

Therefore, the correct answer is A.

30.

En un mismo plano se dibujan los polígonos convexos $P_1$ y $P_2,$ con $n_1$ y $n_2$ lados respectivamente, donde $n_1\leq n_2.$ Si $P_1$ y $P_2$ no tienen ningún segmento de recta en común, entonces el número máximo de puntos de intersección entre $P_1$ y $P_2$ es:

Convex polygons $P_1$ and $P_2$ are drawn in the same plane with $n_1$ and $n_2$ sides, respectively, $n_1\leq n_2.$ If $P_1$ and $P_2$ do not have any line segment in common, then the maximum number of intersections of $P_1$ and $P_2$ is:

$2n_1$

$2n_2$

$n_1n_2$

$n_1+n_2$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:conteo de intersecciones argumento extremal

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Un segmento puede entrar y salir de un polígono convexo a lo sumo una vez

A line segment can enter and leave a convex polygon at most once

Pista grande:

Aplica esa cota a cada lado del polígono que tiene menos lados

Apply that bound to each side of the polygon with fewer sides

Solución:

Cada lado de $P_1$ está contenido en una recta, y su intersección con la región convexa $P_2$ es un solo segmento o es vacía. Por lo tanto, ese lado cruza la frontera de $P_2$ a lo sumo dos veces. En los $n_1$ lados hay como máximo $2n_1,$ y un $n_1$ -gono convexo suficientemente delgado que cruce un $n_2$ -gono convexo alcanza esta cota.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each side of $P_1$ lies on a line, and its intersection with the convex region $P_2$ is a single segment or empty. Thus that side crosses the boundary of $P_2$ at most twice. Across $n_1$ sides there are at most $2n_1,$ and a suitable thin convex $n_1$ -gon crossing a convex $n_2$ -gon attains this bound.

Therefore, the correct answer is A.

31.

En este diagrama, que no está dibujado a escala, las figuras $\mathrm{I}$ y $\mathrm{III}$ son regiones triangulares equiláteras con áreas respectivas de $32\sqrt3$ y $8\sqrt3$ pulgadas cuadradas. La figura $\mathrm{II}$ es una región cuadrada de área $32$ pulgadas cuadradas. Se reduce la longitud del segmento $AD$ en un $12\dfrac12\%$ de sí misma, mientras las longitudes de $AB$ y $CD$ permanecen sin cambio. El porcentaje de disminución del área del cuadrado es:

In this diagram, not drawn to scale, figures $\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ are equilateral triangular regions with respective areas of $32\sqrt3$ and $8\sqrt3$ square inches. Figure $\mathrm{II}$ is a square region with area $32$ square inches. Let the length of segment $AD$ be decreased by $12\dfrac12\%$ of itself, while the lengths of $AB$ and $CD$ remain unchanged. The percent decrease in the area of the square is:

$12\dfrac12$

$25$

$50$

$75$

$87\dfrac12$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo equilátero cuadrado (geometría)área porcentaje

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Convierte las tres áreas dadas en las longitudes de lado $AB,$ $BC,$ $CD$

Convert the three given areas into the side lengths $AB,$ $BC,$ $CD$

Pista grande:

La disminución de $AD$ recae por completo en el lado del cuadrado

The decrease in $AD$ is absorbed entirely by the square’s side

Solución:

De $(\frac{\sqrt3}{4})s^2=32\sqrt3,$ se obtiene $AB=8\sqrt2.$ El cuadrado tiene $BC=4\sqrt2,$ y el triángulo equilátero menor también tiene $CD=4\sqrt2.$ Por tanto, $AD=16\sqrt2.$ Reducirlo en $\frac{1}{8}$ resta $2\sqrt2$ de $BC,$ cuya nueva longitud es $2\sqrt2.$ El área del cuadrado baja de $32$ a $8,$ una disminución del $75\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From $(\frac{\sqrt3}{4})s^2=32\sqrt3,$ $AB=8\sqrt2.$ The square has $BC=4\sqrt2,$ and the smaller equilateral triangle also has $CD=4\sqrt2.$ Thus $AD=16\sqrt2.$ Decreasing it by $\frac{1}{8}$ removes $2\sqrt2$ from $BC,$ whose new length is $2\sqrt2.$ The square’s area falls from $32$ to $8,$ a $75\%$ decrease.

Therefore, the correct answer is D.

32.

$A$ y $B$ se mueven uniformemente por dos trayectorias rectas que se cortan perpendicularmente en el punto $O.$ Cuando $A$ está en $O,$ a $B$ le faltan $500$ yardas para llegar a $O.$ Al cabo de $2$ minutos están a la misma distancia de $O,$ y $8$ minutos después vuelven a estar a la misma distancia de $O.$ Entonces la razón entre la velocidad de $A$ y la de $B$ es:

$A$ and $B$ move uniformly along two straight paths intersecting at right angles in point $O.$ When $A$ is at $O,$ $B$ is $500$ yards short of $O.$ In $2$ minutes they are equidistant from $O,$ and in $8$ minutes more they are again equidistant from $O.$ Then the ratio of $A$ ’s speed to $B$ ’s speed is:

$4:5$

$5:6$

$2:3$

$5:8$

$1:2$

Respuesta: C

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Sean las velocidades $u,$ $v$ ; cuando $t=2,$ $2u=500-2v$

Let the speeds be $u,$ $v$ ; at $t=2,$ $2u=500-2v$

Pista grande:

Cuando $t=10,$ $B$ ya pasó por $O,$ así que $10u=10v-500$

At $t=10,$ $B$ has passed $O,$ so $10u=10v-500$

Solución:

Sean $u,$ $v$ las velocidades de $A,$ $B.$ Cuando $t=2,$ $2u=500-2v,$ por lo que $u+v=250.$ Cuando $t=10,$ $B$ ya pasó por $O,$ y $10u=10v-500,$ de modo que $v-u=50.$ Por consiguiente, $u=100,$ $v=150,$ y $u:v=2:3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the speeds of $A,$ $B$ be $u,$ $v.$ At $t=2,$ $2u=500-2v,$ so $u+v=250.$ At $t=10,$ $B$ has passed $O,$ and $10u=10v-500,$ so $v-u=50.$ Hence $u=100,$ $v=150,$ and $u:v=2:3.$

Therefore, the correct answer is C.

33.

Un número $N$ tiene tres dígitos cuando se expresa en base $7.$ Cuando $N$ se expresa en base $9$ , los dígitos aparecen en orden inverso. Entonces el dígito central es:

A number $N$ has three digits when expressed in base $7.$ When $N$ is expressed in base $9$ the digits are reversed. Then the middle digit is:

$0$

$1$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: A

Conceptos:base numérica valor posicional Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Llama $a,$ $b,$ $c$ a los dígitos en base $7$ e iguala $49a+7b+c$ con $81c+9b+a$

Call the base- $7$ digits $a,$ $b,$ $c$ and equate $49a+7b+c$ to $81c+9b+a$

Pista grande:

Reordena para obtener $24a-b=40c$ y usa las cotas de los dígitos

Rearrange to $24a-b=40c$ and use the digit bounds

Solución:

Sea $N=(abc)_7=(cba)_9.$ Entonces $49a+7b+c=81c+9b+a,$ así que $24a-b=40c.$ Con $1\leq a\leq6,$ $0\leq b\leq6,$ y $1\leq c\leq6,$ la única posibilidad es $a=5,$ $c=3,$ $b=0.$ En efecto, $(503)_7=(305)_9=248.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $N=(abc)_7=(cba)_9.$ Then $49a+7b+c=81c+9b+a,$ so $24a-b=40c.$ With $1\leq a\leq6,$ $0\leq b\leq6,$ and $1\leq c\leq6,$ the only possibility is $a=5,$ $c=3,$ $b=0.$ Indeed, $(503)_7=(305)_9=248.$

Therefore, the correct answer is A.

34.

Con $400$ miembros votando, la Cámara de Representantes rechazó un proyecto de ley. En una segunda votación con los mismos miembros, el proyecto fue aprobado por un margen igual al doble del margen por el que había sido rechazado. El número de votos a favor en la segunda votación fue $\dfrac{12}{11}$ del número de votos en contra en la primera. ¿Cuántos miembros más votaron a favor del proyecto la segunda vez que la primera?

With $400$ members voting, the House of Representatives defeated a bill. A re-vote, with the same members voting, resulted in passage of the bill by twice the margin by which it was originally defeated. The number voting for the bill on the re-vote was $\dfrac{12}{11}$ of the number voting against it originally. How many more members voted for the bill the second time than voted for it the first time?

$75$

$60$

$50$

$45$

$20$

Respuesta: B

Conceptos:sistema de ecuaciones razón y proporción

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Sean $F$ y $G$ las cantidades de votos a favor en la primera y la segunda votación

Let the original and second numbers voting for be $F$ and $G$

Pista grande:

Usa $G=\frac{12}{11}(400-F)$ y $2G-400=2(400-2F)$

Use $G=\frac{12}{11}(400-F)$ and $2G-400=2(400-2F)$

Solución:

Sean $F,$ $G$ las cantidades de votos a favor en la primera y la segunda votación. La condición de la razón da $G=\frac{12}{11}(400-F).$ El margen de aprobación es el doble del margen de rechazo original, por lo que $2G-400=2(400-2F),$ o $G+2F=600.$ Al resolver se obtiene $F=180,$ $G=240,$ así que $60$ miembros más votaron a favor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $F,$ $G$ be the original and second numbers voting for the bill. The ratio condition gives $G=\frac{12}{11}(400-F).$ The passage margin is twice the original defeat margin, so $2G-400=2(400-2F),$ or $G+2F=600.$ Solving gives $F=180,$ $G=240,$ so $60$ more members voted for it.

Therefore, the correct answer is B.

35.

En este diagrama, el centro del círculo es $O,$ el radio mide $a$ pulgadas, la cuerda $EF$ es paralela a la cuerda $CD,$ los puntos $O,$ $G,$ $H,$ $J$ son colineales y $G$ es el punto medio de $CD.$ Sea $K$ , en pulgadas cuadradas, el área del trapecio $CDFE$ , y sea $R$ , en pulgadas cuadradas, el área del rectángulo $ELMF.$ Al trasladar $CD$ y $EF$ hacia arriba, de modo que $OG$ aumente y se acerque al valor $a,$ mientras $JH$ siempre sea igual a $HG,$ la razón $K:R$ se aproxima tanto como se quiera a:

In this diagram the center of the circle is $O,$ the radius is $a$ inches, chord $EF$ is parallel to chord $CD,$ $O,$ $G,$ $H,$ $J$ are collinear, and $G$ is the midpoint of $CD.$ Let $K$ (square inches) represent the area of trapezoid $CDFE$ and let $R$ (square inches) represent the area of rectangle $ELMF.$ Then, as $CD$ and $EF$ are translated upward so that $OG$ increases toward the value $a,$ while $JH$ always equals $HG,$ the ratio $K:R$ becomes arbitrarily close to:

$0$

$1$

$\sqrt2$

$\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac12$

$\dfrac1{\sqrt2}+1$

Respuesta: D

Conceptos:círculo cuerda trapecio cálculo

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Sea $JH=HG=x,$ de modo que $OG=a-2x$ y $OH=a-x$

Let $JH=HG=x,$ so $OG=a-2x$ and $OH=a-x$

Pista grande:

Expresa las dos semicuerdas mediante el teorema de Pitágoras y luego haz que $x$ se acerque a $0$

Express the two half-chords with the Pythagorean theorem, then let $x$ approach $0$

Solución:

Sea $JH=HG=x.$ Entonces $OG=a-2x$ y $OH=a-x.$ Las semicuerdas son $\begin{aligned} GD&=2\sqrt{x(a-x)},\\ HF&=\sqrt{x(2a-x)}. \end{aligned}$ Como ambas figuras tienen altura $x,$ $\begin{aligned} \frac KR&=\frac{x(GD+HF)}{2x(HF)}\\ &=\frac12+\frac{GD}{2HF}. \end{aligned}$ Cuando $x$ se acerca a $0,$ la última fracción se acerca a $\frac{2\sqrt{ax}}{2\sqrt{2ax}}=\frac1{\sqrt2}.$ Por lo tanto, $K:R$ se acerca a $\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $JH=HG=x.$ Then $OG=a-2x$ and $OH=a-x.$ The half-chords are $\begin{aligned} GD&=2\sqrt{x(a-x)},\\ HF&=\sqrt{x(2a-x)}. \end{aligned}$ Since both figures have height $x,$ $\begin{aligned} \frac KR&=\frac{x(GD+HF)}{2x(HF)}\\ &=\frac12+\frac{GD}{2HF}. \end{aligned}$ As $x$ approaches $0,$ the latter fraction approaches $\frac{2\sqrt{ax}}{2\sqrt{2ax}}=\frac1{\sqrt2}.$ Thus $K:R$ approaches $\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

Problemas del 1968 AMC 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande: