Question

Un número $N$ tiene tres dígitos cuando se expresa en base $7.$ Cuando $N$ se expresa en base $9$ , los dígitos aparecen en orden inverso. Entonces el dígito central es:

A number $N$ has three digits when expressed in base $7.$ When $N$ is expressed in base $9$ the digits are reversed. Then the middle digit is:

$0$

$1$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: A

Conceptos:base numérica valor posicional Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Llama $a,$ $b,$ $c$ a los dígitos en base $7$ e iguala $49a+7b+c$ con $81c+9b+a$

Call the base- $7$ digits $a,$ $b,$ $c$ and equate $49a+7b+c$ to $81c+9b+a$

Pista grande:

Reordena para obtener $24a-b=40c$ y usa las cotas de los dígitos

Rearrange to $24a-b=40c$ and use the digit bounds

Solución:

Sea $N=(abc)_7=(cba)_9.$ Entonces $49a+7b+c=81c+9b+a,$ así que $24a-b=40c.$ Con $1\leq a\leq6,$ $0\leq b\leq6,$ y $1\leq c\leq6,$ la única posibilidad es $a=5,$ $c=3,$ $b=0.$ En efecto, $(503)_7=(305)_9=248.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $N=(abc)_7=(cba)_9.$ Then $49a+7b+c=81c+9b+a,$ so $24a-b=40c.$ With $1\leq a\leq6,$ $0\leq b\leq6,$ and $1\leq c\leq6,$ the only possibility is $a=5,$ $c=3,$ $b=0.$ Indeed, $(503)_7=(305)_9=248.$

Therefore, the correct answer is A.

1968 AMC 12 Problema 33

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 33 en otros años