Question

El valor mínimo del cociente entre un número decimal de tres cifras distintas y no nulas y la suma de sus cifras es:

The minimum value of the quotient of a (base ten) number of three different nonzero digits divided by the sum of its digits is:

$9.7$

$10.1$

$10.5$

$10.9$

$20.5$

Respuesta: C

Conceptos:dígitos optimización desigualdad

Nivel de dificultad: 2140

Pista pequeña:

Sean $H,$ $T,$ y $U$ las cifras de centenas, decenas y unidades, y considera qué posición debe contener la cifra mayor

Let the hundreds, tens, and units digits be $H,$ $T,$ and $U,$ and consider which position should contain the largest digit

Pista grande:

En el mínimo, $U=9$ ; luego maximiza $T$ y minimiza $H$ con cifras distintas y no nulas

At a minimum $U=9$ ; then maximize $T$ and minimize $H$ subject to distinct nonzero digits

Solución:

Sea $Q$ el cociente. Entonces $Q=1+\frac{99H+9T}{H+T+U}.$ Intercambiar $U$ con una cifra mayor situada en alguna posición anterior reduce el cociente, así que la cifra de unidades debe ser la mayor. Aumentar esa cifra de unidades reduce un cociente mayor que $1,$ por lo que $U=9.$ Entonces $\frac{T+11H}{T+H+9} =1+\frac{10H-9}{T+H+9}.$ Esto se minimiza tomando la mayor cifra disponible $T=8$ y después la menor $H=1.$ El número es $189,$ y $\frac{189}{1+8+9}=\frac{189}{18}=10.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $Q$ denote the quotient. Then $Q=1+\frac{99H+9T}{H+T+U}.$ Interchanging $U$ with a larger digit in either earlier position decreases the quotient, so the units digit must be the largest. Increasing that units digit lowers a quotient greater than $1,$ so $U=9.$ Then $\frac{T+11H}{T+H+9} =1+\frac{10H-9}{T+H+9}.$ This is minimized by taking the largest available $T=8$ and then the smallest $H=1.$ The number is $189,$ and $\frac{189}{1+8+9}=\frac{189}{18}=10.5.$

Therefore, the correct answer is C.

1972 AMC 12 Problema 33

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 33 en otros años