Question

Para que una raíz de $ax^2+bx+c=0$ sea el doble de la otra, $a,$ $b$ y $c$ deben satisfacer:

For one root of $ax^2+bx+c=0$ to be double the other, the coefficients $a,$ $b,$ $c$ must be related as follows:

$4b^2=9c$

$2b^2=9ac$

$2b^2=9a$

$b^2-8ac=0$

$9b^2=2ac$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Representa las raíces como $q$ y $2q$

Represent the two roots as $q$ and $2q$

Pista grande:

Aplica las fórmulas de Vieta a su suma y producto y elimina $q$

Apply Vieta’s formulas to their sum and product, then eliminate $q$

Solución:

Sean las raíces $q$ y $2q.$ Las fórmulas de Vieta dan $3q=-\frac ba,\qquad 2q^2=\frac ca.$ Al elevar al cuadrado la primera relación, $9q^2=\frac{b^2}{a^2}.$ Al dividirla entre la segunda, $\frac92=\frac{b^2}{ac},$ es decir, $2b^2=9ac.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the roots be $q$ and $2q.$ Vieta’s formulas give $3q=-\frac ba,\qquad 2q^2=\frac ca.$ Squaring the first relation yields $9q^2=\frac{b^2}{a^2}.$ Dividing this by the second relation gives $\frac92=\frac{b^2}{ac},$ or $2b^2=9ac.$

Therefore, the correct answer is B.

1958 AMC 12 Problema 33

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 33 en otros años