Question

Si $ab\ne0$ y $|a|\ne|b|,$ el número de valores distintos de $x$ que satisfacen la ecuación

$\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}$

es:

If $ab\ne0$ and $|a|\ne|b|,$ the number of distinct values of $x$ satisfying the equation

$\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}$

is:

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: D

Conceptos:manipulación algebraica factorización ecuación racional

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Tras combinar términos, ambos lados contienen el numerador $(a+b)x-(a^2+b^2)$

Both sides contain the numerator $(a+b)x-(a^2+b^2)$ after combining terms

Pista grande:

Factoriza la ecuación como ese numerador por una diferencia de recíprocos

Factor the equation into that numerator times a difference of reciprocals

Solución:

Sea $N=(a+b)x-a^2-b^2.$ Al combinar cada lado se obtiene $N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.$ El primer factor da $x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.$ El segundo da $(x-a)(x-b)=ab,$ o bien $x(x-a-b)=0,$ lo que da $x=0$ y $x=a+b.$ Las hipótesis garantizan que los tres están definidos y son distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $N=(a+b)x-a^2-b^2.$ Combining each side gives $N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.$ The first factor gives $x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.$ The second gives $(x-a)(x-b)=ab,$ or $x(x-a-b)=0,$ giving $x=0$ and $x=a+b.$ The hypotheses ensure that all three are defined and distinct.

Therefore, the correct answer is D.

1966 AMC 12 Problema 33

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 33 en otros años