Question

Si el número $15!,$ es decir, $15\cdot14\cdot13\cdots1,$ termina en $k$ ceros cuando se expresa en base $12$ y en $h$ ceros cuando se expresa en base $10,$ entonces $k+h$ es igual a:

If the number $15!,$ that is, $15\cdot14\cdot13\cdots1,$ ends with $k$ zeros when given to the base $12$ and ends with $h$ zeros when given to the base $10,$ then $k+h$ equals:

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: D

Conceptos:factorial ceros finales factorización en primos base numérica

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Cuenta las potencias de $2,$ $3,$ y $5$ en $15!$

Count the powers of $2,$ $3,$ and $5$ in $15!$

Pista grande:

Un cero en base $12$ usa $2^2\cdot3$ , mientras que un cero en base $10$ usa $2\cdot5$

A base- $12$ zero uses $2^2\cdot3$ , while a base- $10$ zero uses $2\cdot5$

Solución:

Las valuaciones primas son $\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered}$ Por tanto, $k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5$ en base $12,$ y $h=\min(11,3)=3$ en base $10.$ Así, $k+h=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The prime valuations are $\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered}$ Hence $k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5$ in base $12,$ and $h=\min(11,3)=3$ in base $10.$ Thus $k+h=8.$

Therefore, the correct answer is D.

1965 AMC 12 Problema 33

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 33 en otros años