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1965 AMC 12 Problema 34

Intenta el Problema 34 del 1965 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1965 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

34.

Para x≥0,x\geq0, el menor valor de 4x2+8x+136(1+x)\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)} es:

For x≥0,x\geq0, the smallest value of 4x2+8x+136(1+x)\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)} is:

11

22

2512\dfrac{25}{12}

136\dfrac{13}{6}

345\dfrac{34}{5}

Respuesta: B
Conceptos:optimizaciónDesigualdad MA-MGsustitución
Nivel de dificultad: 1950
Pista pequeña:

Toma t=x+1≥1t=x+1\geq1

Set t=x+1≥1t=x+1\geq1

Pista grande:

Reescribe la expresión como 23t+32t\frac23t+\frac{3}{2t}

Rewrite the expression as 23t+32t\frac23t+\frac{3}{2t}

Solución:

Sea t=x+1≥1.t=x+1\geq1. Como 4x2+8x+13=4t2+9,4x^2+8x+13=4t^2+9, la expresión es 23t+32t.\frac23t+\frac{3}{2t}. Por la desigualdad media aritmética-media geométrica, esto es al menos 2(23)(32)=2,2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2, con igualdad en t=32,t=\frac{3}{2}, que está permitido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let t=x+1≥1.t=x+1\geq1. Since 4x2+8x+13=4t2+9,4x^2+8x+13=4t^2+9, the expression is 23t+32t.\frac23t+\frac{3}{2t}. By AM-GM this is at least 2(23)(32)=2,2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2, with equality at t=32,t=\frac{3}{2}, which is allowed.

Therefore, the correct answer is B.

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