Question

Un avión voló directamente contra el viento entre dos ciudades en $84$ minutos y regresó con el viento en $9$ minutos menos de lo que tardaría con aire en calma. El número de minutos, con dos respuestas, del viaje de regreso fue

A plane flew straight against a wind between two towns in $84$ minutes and returned with that wind in $9$ minutes less than it would take in still air. The number of minutes (two answers) for the return trip was

$54$ o $18$

$54$ or $18$

$60$ o $15$

$60$ or $15$

$63$ o $12$

$63$ or $12$

$72$ o $36$

$72$ or $36$

$75$ o $20$

$75$ or $20$

Respuesta: C

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo cuadrática sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Sea $x$ el tiempo de regreso; el tiempo con aire en calma es entonces $x+9$

Let $x$ be the return time; the still-air time is then $x+9$

Pista grande:

La velocidad del avión en aire en calma es el promedio de sus velocidades terrestres contra el viento y a favor del viento

The plane’s still-air speed is the average of its against-wind and with-wind ground speeds

Solución:

Sea $d$ la distancia y $x$ minutos el tiempo de regreso. Las velocidades contra el viento y a favor del viento son $\frac{d}{84}$ y $\frac{d}{x}.$ Su promedio es la velocidad en aire en calma $\frac{d}{x+9}.$ Por lo tanto, $\frac{2}{x+9}=\frac1{84}+\frac1x.$ Al eliminar denominadores se obtiene $\begin{gathered} 168x=(x+9)(x+84),\\ x^2-75x+756=0,\\ (x-63)(x-12)=0. \end{gathered}$ Ambos valores positivos son compatibles con las condiciones dadas, así que los dos tiempos de regreso son $63$ y $12$ minutos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the distance be $d$ and the return time be $x$ minutes. The against-wind and with-wind speeds are $\frac{d}{84}$ and $\frac{d}{x}.$ Their average is the still-air speed $\frac{d}{x+9}.$ Therefore $\frac{2}{x+9}=\frac1{84}+\frac1x.$ Clearing denominators gives $\begin{gathered} 168x=(x+9)(x+84),\\ x^2-75x+756=0,\\ (x-63)(x-12)=0. \end{gathered}$ Both positive values are consistent with the stated conditions, so the two return times are $63$ and $12$ minutes.

Therefore, the correct answer is C.

1973 AMC 12 Problema 34

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 34 en otros años