Soluciones del 1973 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Una cuerda que es la mediatriz de un radio de longitud $12$ en un círculo tiene longitud

A chord which is the perpendicular bisector of a radius of length $12$ in a circle has length

$3\sqrt3$

$27$

$6\sqrt3$

$12\sqrt3$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:círculo cuerda Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

La cuerda corta perpendicularmente al radio en su punto medio

The chord meets the radius halfway from the center and at a right angle

Pista grande:

Halla la mitad de la cuerda con el teorema de Pitágoras y luego duplícala

Find half the chord with the Pythagorean theorem, then double it

Solución:

Sea $M$ el punto medio de la cuerda y también el punto medio del radio. La distancia del centro $O$ a $M$ es $6,$ mientras que el radio del círculo es $12.$ Si $A$ es un extremo de la cuerda, entonces $AM=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3.$ La cuerda completa tiene longitud $2AM=12\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $M$ be the midpoint of the chord and also the midpoint of the radius. The distance from the center $O$ to $M$ is $6,$ while the circle’s radius is $12.$ If $A$ is one endpoint of the chord, then $AM=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3.$ The full chord has length $2AM=12\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

2.

Se unen mil cubos unitarios para formar un cubo grande de arista $10$ unidades; se pinta el cubo grande y luego se separa en los cubos originales. El número de cubos unitarios que tienen al menos una cara pintada es

One thousand unit cubes are fastened together to form a large cube with edge length $10$ units; this is painted and then separated into the original cubes. The number of these unit cubes which have at least one face painted is

$600$

$520$

$488$

$480$

$400$

Conceptos:geometría del cubo conteo complementario

Nivel de dificultad: 1230

Pista pequeña:

Cuenta en su lugar los cubos que no tienen ninguna cara pintada

Count the cubes with no painted face instead

Pista grande:

Al quitar la capa exterior queda un cubo de $8\times8\times8$

Removing the outer layer leaves an $8\times8\times8$ cube

Solución:

Los cubos sin pintar son precisamente los del cubo interior de $8\times8\times8$ . Por lo tanto, el número que tiene al menos una cara pintada es $10^3-8^3=1000-512=488.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The unpainted cubes are precisely the interior $8\times8\times8$ cube. Therefore the number having at least one painted face is $10^3-8^3=1000-512=488.$

Therefore, the correct answer is C.

3.

La conjetura fuerte de Goldbach afirma que todo entero par mayor que $7$ puede escribirse como suma de dos números primos distintos. Entre tales representaciones del número par $126,$ la mayor diferencia posible entre los dos primos es

Nota: La conjetura usual de Goldbach afirma que todo entero par mayor que $3$ puede expresarse como suma de dos primos. Ni esta conjetura ni su versión fuerte han sido resueltas.

The stronger Goldbach conjecture states that any even integer greater than $7$ can be written as the sum of two different prime numbers. For such representations of the even number $126,$ the largest possible difference between the two primes is

Note: The regular Goldbach conjecture states that any even integer greater than $3$ is expressible as a sum of two primes. Neither this conjecture nor the stronger version has been settled.

$112$

$100$

$92$

$88$

$80$

Conceptos:primo optimización enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Para una suma fija, maximiza la diferencia minimizando el primo menor

For a fixed sum, maximize the difference by minimizing the smaller prime

Pista grande:

Prueba los primos $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $\ldots$ hasta que su complemento respecto de $126$ sea primo

Test the primes $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $\ldots$ until the complement to $126$ is prime

Solución:

Para primos $p\lt q$ con $p+q=126,$ la diferencia $q-p=126-2p$ es máxima cuando $p$ es lo menor posible. Los complementos de $3,$ $5,$ $7,$ y $11$ son $123,$ $121,$ $119,$ y $115,$ ninguno de los cuales es primo. Para $p=13,$ el complemento es $113,$ que sí es primo. Así, la mayor diferencia es $113-13=100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For primes $p\lt q$ with $p+q=126,$ the difference $q-p=126-2p$ is largest when $p$ is as small as possible. The complements of $3,$ $5,$ $7,$ and $11$ are $123,$ $121,$ $119,$ and $115,$ none prime. For $p=13,$ the complement is $113,$ which is prime. Thus the largest difference is $113-13=100.$

Therefore, the correct answer is B.

4.

Dos triángulos congruentes de $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ se colocan de modo que se superponen parcialmente y sus hipotenusas coinciden. Si la hipotenusa de cada triángulo mide $12,$ el área común a ambos triángulos es

Two congruent $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangles are placed so that they overlap partly and their hypotenuses coincide. If the hypotenuse of each triangle is $12,$ the area common to both triangles is

$6\sqrt3$

$8\sqrt3$

$9\sqrt3$

$12\sqrt3$

$24$

Conceptos:triángulo rectángulo especial geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Coloca la hipotenusa común sobre el eje $x$ e intercambia el extremo que tiene el ángulo de $30^\circ$

Place the common hypotenuse on the $x$ -axis and reverse which endpoint has the $30^\circ$ angle

Pista grande:

La frontera superior de la superposición consta de dos rectas que forman ángulos de $30^\circ$ con la hipotenusa

The upper boundary of the overlap consists of two lines making $30^\circ$ angles with the hypotenuse

Solución:

Coloca la hipotenusa común desde $A=(0,0)$ hasta $B=(12,0).$ Los terceros vértices de los triángulos son $(9,3\sqrt3)$ y $(3,3\sqrt3).$ Su región común es el triángulo de base $AB$ cuyo vértice está donde se cortan $y=\frac{x}{\sqrt3}$ y $y=\frac{12-x}{\sqrt3}$ . Esto ocurre en $x=6,$ con altura $2\sqrt3.$ Por lo tanto, el área común es $\frac12(12)(2\sqrt3)=12\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put the common hypotenuse from $A=(0,0)$ to $B=(12,0).$ The two triangles have their third vertices at $(9,3\sqrt3)$ and $(3,3\sqrt3).$ Their common region is the triangle with base $AB$ and apex where $y=\frac{x}{\sqrt3}$ and $y=\frac{12-x}{\sqrt3}$ meet. This occurs at $x=6,$ with height $2\sqrt3.$ Hence the common area is $\frac12(12)(2\sqrt3)=12\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

5.

De las siguientes cinco afirmaciones, de $\mathrm{I}$ a $\mathrm{V},$ sobre la operación binaria de promediar (media aritmética),

$\mathrm{I}.$ Promediar es asociativo

$\mathrm{II}.$ Promediar es conmutativo

$\mathrm{III}.$ Promediar es distributivo respecto de la suma

$\mathrm{IV}.$ La suma es distributiva respecto de promediar

$\mathrm{V}.$ La operación de promediar tiene un elemento identidad

las que siempre son verdaderas son

Of the following five statements, $\mathrm{I}$ to $\mathrm{V},$ about the binary operation of averaging (arithmetic mean),

$\mathrm{I}.$ Averaging is associative

$\mathrm{II}.$ Averaging is commutative

$\mathrm{III}.$ Averaging distributes over addition

$\mathrm{IV}.$ Addition distributes over averaging

$\mathrm{V}.$ Averaging has an identity element

those which are always true are

Todas

All

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{IV}$ only

solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{V}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{V}$ only

Conceptos:operación personalizada propiedad distributiva contraejemplo

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Escribe la operación de promediar como $a*b=\frac{a+b}{2}$

Write the averaging operation as $a*b=\frac{a+b}{2}$

Pista grande:

Desarrolla cada identidad propuesta; un solo contraejemplo basta para descartar una propiedad

Expand each proposed identity; one counterexample is enough to reject a property

Solución:

Sea $a*b=\frac{a+b}{2}.$ La conmutatividad es inmediata. Además, $\begin{aligned} a+(b*c) &=\frac{2a+b+c}{2}\\ &=(a+b)*(a+c). \end{aligned}$ por lo que la suma es distributiva respecto de promediar.

La asociatividad falla porque $\begin{aligned} (a*b)*c&=\frac{a+b+2c}{4},\\ a*(b*c)&=\frac{2a+b+c}{4}. \end{aligned}$ Promediar no es distributivo respecto de la suma, pues en general $a*(b+c)\ne(a*b)+(a*c).$ Por último, un elemento identidad $e$ exigiría que $\frac{e+a}{2}=a$ para todo $a,$ es decir, que $e=a,$ lo cual es imposible para un $e$ fijo. Por tanto, solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{IV}$ se cumplen siempre.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a*b=\frac{a+b}{2}.$ Commutativity is immediate. Also $\begin{aligned} a+(b*c) &=\frac{2a+b+c}{2}\\ &=(a+b)*(a+c). \end{aligned}$ so addition distributes over averaging.

Associativity fails because $\begin{aligned} (a*b)*c&=\frac{a+b+2c}{4},\\ a*(b*c)&=\frac{2a+b+c}{4}. \end{aligned}$ Averaging does not distribute over addition since generally $a*(b+c)\ne(a*b)+(a*c).$ Finally, an identity $e$ would require $\frac{e+a}{2}=a$ for every $a,$ or $e=a,$ which is impossible for a fixed $e.$ Thus only $\mathrm{II}$ and $\mathrm{IV}$ always hold.

Therefore, the correct answer is D.

6.

Si $554$ es la representación en base $b$ del cuadrado del número cuya representación en base $b$ es $24,$ entonces $b,$ escrito en base $10,$ es igual a

If $554$ is the base $b$ representation of the square of the number whose base $b$ representation is $24,$ then $b,$ when written in base $10,$ equals

$6$

$8$

$12$

$14$

$16$

Conceptos:base numérica cuadrática valor posicional

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Convierte $24_b$ y $554_b$ en expresiones polinómicas en base diez

Translate $24_b$ and $554_b$ into base-ten polynomial expressions

Pista grande:

Después de resolver la cuadrática resultante, recuerda que una base que contiene el dígito $5$ debe ser mayor que $5$

After solving the resulting quadratic, enforce that a base containing digit $5$ must exceed $5$

Solución:

En base diez, $\begin{aligned} 24_b&=2b+4,\\ 554_b&=5b^2+5b+4. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned} (2b+4)^2&=5b^2+5b+4,\\ b^2-11b-12&=0,\\ (b-12)(b+1)&=0. \end{aligned}$ Una base es positiva y debe ser mayor que $5,$ así que $b=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In base ten, $\begin{aligned} 24_b&=2b+4,\\ 554_b&=5b^2+5b+4. \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} (2b+4)^2&=5b^2+5b+4,\\ b^2-11b-12&=0,\\ (b-12)(b+1)&=0. \end{aligned}$ A base is positive and must exceed $5,$ so $b=12.$

Therefore, the correct answer is C.

7.

La suma de todos los enteros entre $50$ y $350$ que terminan en $1$ es

The sum of all the integers between $50$ and $350$ which end in $1$ is

$5880$

$5539$

$5208$

$4877$

$4566$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Los enteros forman una sucesión aritmética desde $51$ hasta $341$

The integers form an arithmetic sequence from $51$ through $341$

Pista grande:

Usa la diferencia común para contar los términos y luego empareja el primero con el último

Use the common difference to count the terms, then pair the first and last

Solución:

La sucesión es $51,61,\ldots,341.$ Tiene $\frac{341-51}{10}+1=30$ términos. Por lo tanto, su suma es $\begin{aligned} \frac{30(51+341)}2 &=15\cdot392\\ &=5880. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sequence is $51,61,\ldots,341.$ It has $\frac{341-51}{10}+1=30$ terms. Its sum is therefore $\begin{aligned} \frac{30(51+341)}2 &=15\cdot392\\ &=5880. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

8.

Si se necesita $1$ pinta de pintura para pintar una estatua de $6$ pies de altura, entonces el número de pintas necesarias para pintar, con el mismo grosor, $540$ estatuas semejantes a la original pero de solo $1$ pie de altura es

If $1$ pint of paint is needed to paint a statue $6$ ft. high, then the number of pints it will take to paint (to the same thickness) $540$ statues similar to the original but only $1$ ft. high is

$90$

$72$

$45$

$30$

$15$

Conceptos:semejanza área de superficie escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

La pintura necesaria escala con el área superficial, no con el volumen

Paint required scales with surface area, not volume

Pista grande:

Reducir cada longitud por un factor de $6$ reduce la pintura por estatua por el cuadrado de ese factor

Reducing every length by a factor of $6$ reduces the paint per statue by the square of that factor

Solución:

Una estatua de $1$ pie tiene escala lineal $\frac{1}{6}$ respecto de la original, por lo que su área superficial y su necesidad de pintura son $\frac{1}{36}$ de las originales. Por lo tanto, las $540$ estatuas pequeñas requieren $540\cdot\frac1{36}=15$ pintas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A $1$ -ft. statue has linear scale $\frac{1}{6}$ relative to the original, so its surface area and paint requirement are $\frac{1}{36}$ as large. The $540$ small statues therefore require $540\cdot\frac1{36}=15$ pints.

Therefore, the correct answer is E.

9.

En $\triangle ABC$ , con ángulo recto en $C,$ la altura $CH$ y la mediana $CM$ trisecan el ángulo recto. Si el área de $\triangle CHM$ es $K,$ entonces el área de $\triangle ABC$ es

In $\triangle ABC$ with right angle at $C,$ altitude $CH$ and median $CM$ trisect the right angle. If the area of $\triangle CHM$ is $K,$ then the area of $\triangle ABC$ is

$6K$

$4\sqrt3K$

$3\sqrt3K$

$3K$

$4K$

Conceptos:triángulo rectángulo mediana (geometría)congruencia (geometría)razón de áreas

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Compara los triángulos rectángulos $CHM$ y $CHB$ usando los ángulos de la trisección

Compare the right triangles $CHM$ and $CHB$ using the trisection angles

Pista grande:

Después de ubicar $M$ y $H$ sobre $AB,$ compara $HM$ con toda la base $AB$

After locating $M$ and $H$ on $AB,$ compare $HM$ with the whole base $AB$

Solución:

Como $CH\perp AB,$ tanto $\triangle CHM$ como $\triangle CHB$ son rectángulos en $H.$ La trisección produce ángulos agudos iguales en $C,$ y los triángulos comparten el lado $CH,$ por lo que son congruentes. Así, $HM=HB.$

Como $M$ es el punto medio de $AB,$ se tiene $AM=MB.$ A lo largo de la hipotenusa, el orden es $A,M,H,B,$ y $MB=MH+HB=2MH.$ Por lo tanto, $AB=2MB=4MH.$ Los triángulos $ABC$ y $CHM$ tienen bases sobre la misma recta y la misma altura desde $C,$ por lo que sus áreas están en la razón $AB:HM=4:1.$ Así, el área de $\triangle ABC$ es $4K.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $CH\perp AB,$ both $\triangle CHM$ and $\triangle CHB$ are right at $H.$ The trisection gives equal acute angles at $C,$ and the triangles share side $CH,$ so they are congruent. Hence $HM=HB.$

Because $M$ is the midpoint of $AB,$ $AM=MB.$ Along the hypotenuse the order is $A,M,H,B,$ and $MB=MH+HB=2MH.$ Thus $AB=2MB=4MH.$ Triangles $ABC$ and $CHM$ have bases on the same line and the same altitude from $C,$ so their areas are in the ratio $AB:HM=4:1.$ Therefore the area of $\triangle ABC$ is $4K.$

Therefore, the correct answer is E.

10.

Si $n$ es un número real, entonces el sistema simultáneo $\begin{cases} nx+y=1,\\ ny+z=1,\\ x+nz=1 \end{cases}$ no tiene solución si y solo si $n$ es igual a

If $n$ is a real number, then the simultaneous system $\begin{cases} nx+y=1,\\ ny+z=1,\\ x+nz=1 \end{cases}$ has no solution if and only if $n$ is equal to

$-1$

$0$

$1$

$0$ o $1$

$0$ or $1$

$\frac12$

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Suma las tres ecuaciones y examina el coeficiente de $x+y+z$

Add all three equations and inspect the coefficient of $x+y+z$

Pista grande:

Para cualquier otro valor de $n,$ prueba la elección simétrica $x=y=z$

For every remaining value of $n,$ try the symmetric choice $x=y=z$

Solución:

Al sumar las ecuaciones se obtiene $(n+1)(x+y+z)=3.$ Cuando $n=-1,$ esto se convierte en $0=3,$ por lo que no hay solución. Si $n\ne-1,$ la asignación simétrica $x=y=z=\frac1{n+1}$ satisface las tres ecuaciones. Por lo tanto, el sistema no tiene solución exactamente cuando $n=-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding the equations gives $(n+1)(x+y+z)=3.$ When $n=-1,$ this becomes $0=3,$ so no solution exists. If $n\ne-1,$ the symmetric assignment $x=y=z=\frac1{n+1}$ satisfies all three equations. Hence the system has no solution exactly when $n=-1.$

Therefore, the correct answer is A.

11.

En cada una de las figuras $\mathrm{I}$ a $\mathrm{IV}$ se muestra un círculo con un cuadrado circunscrito y otro inscrito, centrados en el origen $O$ de un sistema de coordenadas rectangulares cuyos ejes positivos $x$ e $y$ son $OX$ y $OY$ .

Las desigualdades $\begin{aligned} |x|+|y| &\le \sqrt{2(x^2+y^2)}\\ &\le 2\operatorname{Max}(|x|,|y|). \end{aligned}$ están representadas geométricamente por la figura número

Representación geométrica: Una desigualdad $f(x,y)\le g(x,y)$ para todos $x,$ $y$ se representa mediante una figura que muestra, para un número real típico $a,$ la inclusión $\begin{aligned} &\{(x,y):g(x,y)\le a\}\\ &\quad\subset \{(x,y):f(x,y)\le a\}. \end{aligned}$

A circle with a circumscribed and an inscribed square centered at the origin $O$ of a rectangular coordinate system with positive $x$ - and $y$ -axes $OX$ and $OY$ is shown in each figure $\mathrm{I}$ to $\mathrm{IV}$ below.

The inequalities $\begin{aligned} |x|+|y| &\le \sqrt{2(x^2+y^2)}\\ &\le 2\operatorname{Max}(|x|,|y|). \end{aligned}$ are represented geometrically by the figure numbered

Geometric representation: An inequality $f(x,y)\le g(x,y)$ for all $x,$ $y$ is represented by a figure showing, for a typical real number $a,$ the containment $\begin{aligned} &\{(x,y):g(x,y)\le a\}\\ &\quad\subset \{(x,y):f(x,y)\le a\}. \end{aligned}$

$\mathrm{I}$

$\mathrm{II}$

$\mathrm{III}$

$\mathrm{IV}$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:desigualdad geometría analítica círculo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Identifica las formas de los conjuntos de subnivel de $|x|+|y|,$ $\sqrt{2(x^2+y^2)},$ y $2\operatorname{Max}(|x|,|y|)$

Identify the shapes of the sublevel sets for $|x|+|y|,$ $\sqrt{2(x^2+y^2)},$ and $2\operatorname{Max}(|x|,|y|)$

Pista grande:

La desigualdad invierte el orden de inclusión de los conjuntos de subnivel correspondientes

The inequality reverses the order of containment of the corresponding sublevel sets

Solución:

Para un $a$ positivo fijo, el conjunto $2\operatorname{Max}(|x|,|y|)\le a$ es un cuadrado con lados paralelos a los ejes. El conjunto $\sqrt{2(x^2+y^2)}\le a$ es su círculo circunscrito, y $|x|+|y|\le a$ es el rombo circunscrito a ese círculo. Por lo tanto, la disposición requerida es un cuadrado interior alineado con los ejes, luego un círculo y finalmente un rombo exterior, que corresponde a la figura $\mathrm{II}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For a fixed positive $a,$ the set $2\operatorname{Max}(|x|,|y|)\le a$ is an axis-aligned square. The set $\sqrt{2(x^2+y^2)}\le a$ is its circumscribed circle, and $|x|+|y|\le a$ is the diamond circumscribed about that circle. Thus the required nesting is an inner axis-aligned square, then a circle, then an outer diamond, which is figure $\mathrm{II}.$

Therefore, the correct answer is B.

12.

La edad promedio (media aritmética) de un grupo formado por médicos y abogados es $40.$ Si la edad promedio de los médicos es $35$ y la de los abogados es $50,$ entonces la razón entre el número de médicos y el número de abogados es

The average (arithmetic mean) age of a group consisting of doctors and lawyers is $40.$ If the doctors average $35$ and the lawyers $50$ years old, then the ratio of the number of doctors to the number of lawyers is

$3:2$

$3:1$

$2:3$

$2:1$

$1:2$

Conceptos:media ponderada razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Sean $d$ y $\ell$ los números de médicos y abogados

Let $d$ and $\ell$ be the numbers of doctors and lawyers

Pista grande:

Iguala la suma de las edades $35d+50\ell$ con $40(d+\ell)$

Equate the total age $35d+50\ell$ to $40(d+\ell)$

Solución:

Si hay $d$ médicos y $\ell$ abogados, entonces $35d+50\ell=40(d+\ell).$ Así, $5d=10\ell,$ por lo que $d:\ell=2:1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If there are $d$ doctors and $\ell$ lawyers, then $35d+50\ell=40(d+\ell).$ Thus $5d=10\ell,$ so $d:\ell=2:1.$

Therefore, the correct answer is D.

13.

La fracción $\frac{2(\sqrt2+\sqrt6)}{3\sqrt{2+\sqrt3}}$ es igual a

The fraction $\frac{2(\sqrt2+\sqrt6)}{3\sqrt{2+\sqrt3}}$ is equal to

$\dfrac{2\sqrt2}{3}$

$1$

$\dfrac{2\sqrt3}{3}$

$\dfrac43$

$\dfrac{16}{9}$

Conceptos:radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Todas las cantidades son positivas, así que compara el cuadrado de la fracción con los cuadrados de las opciones

All quantities are positive, so compare the square of the fraction with the squares of the choices

Pista grande:

Usa $(\sqrt2+\sqrt6)^2=8+4\sqrt3$

Use $(\sqrt2+\sqrt6)^2=8+4\sqrt3$

Solución:

La fracción es positiva, y su cuadrado es $\begin{aligned} &\frac{4(\sqrt2+\sqrt6)^2} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{4(8+4\sqrt3)} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{16(2+\sqrt3)} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{16}{9}. \end{aligned}$ Por lo tanto, la fracción original es $\frac{4}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The fraction is positive, and its square is $\begin{aligned} &\frac{4(\sqrt2+\sqrt6)^2} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{4(8+4\sqrt3)} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{16(2+\sqrt3)} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{16}{9}. \end{aligned}$ Therefore the original fraction is $\frac{4}{3}.$

Therefore, the correct answer is D.

14.

Cada válvula $A,$ $B,$ y $C,$ cuando está abierta, vierte agua en un tanque a su propia tasa constante. Con las tres válvulas abiertas, el tanque se llena en $1$ hora; con solo $A$ y $C$ abiertas tarda $1.5$ horas; y con solo $B$ y $C$ abiertas tarda $2$ horas. El número de horas necesarias con solo $A$ y $B$ abiertas es

Each valve $A,$ $B,$ and $C,$ when open, releases water into a tank at its own constant rate. With all three valves open, the tank fills in $1$ hour, with only valves $A$ and $C$ open it takes $1.5$ hours, and with only valves $B$ and $C$ open it takes $2$ hours. The number of hours required with only valves $A$ and $B$ open is

$1.1$

$1.15$

$1.2$

$1.25$

$1.75$

Conceptos:tasa sistema de ecuaciones ecuación racional

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Sean $a,$ $b,$ $c$ las fracciones del tanque que llenan por hora las tres válvulas

Let $a,$ $b,$ $c$ be the fractions of the tank filled per hour by the three valves

Pista grande:

Combina $a+b+c=1,$ $a+c=\frac{2}{3},$ y $b+c=\frac{1}{2}$ para hallar $a+b$

Combine $a+b+c=1,$ $a+c=\frac{2}{3},$ and $b+c=\frac{1}{2}$ to find $a+b$

Solución:

Sean $a,$ $b,$ $c$ las tasas por hora, medidas en tanques completos. Entonces, $\begin{aligned} a+b+c&=1,\\ a+c&=\frac23,\\ b+c&=\frac12. \end{aligned}$ El doble de la primera ecuación menos las otras dos da $a+b=2-\frac23-\frac12=\frac56.$ Por lo tanto, las válvulas $A$ y $B$ llenan el tanque en $\frac1{a+b}=\frac65=1.2$ horas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a,$ $b,$ $c$ be the hourly rates in tankfuls. Then $\begin{aligned} a+b+c&=1,\\ a+c&=\frac23,\\ b+c&=\frac12. \end{aligned}$ Twice the first equation minus the other two gives $a+b=2-\frac23-\frac12=\frac56.$ Thus valves $A$ and $B$ fill the tank in $\frac1{a+b}=\frac65=1.2$ hours.

Therefore, the correct answer is C.

15.

Se recorta de un círculo de radio $6$ un sector cuyo ángulo central agudo es $\theta.$ El radio del círculo circunscrito al sector es

A sector with acute central angle $\theta$ is cut from a circle of radius $6.$ The radius of the circle circumscribed about the sector is

$3\cos\theta$

$3\sec\theta$

$3\cos\frac12\theta$

$3\sec\frac12\theta$

$3$

Conceptos:sector circular circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio ley de los senos

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Considera los dos radios y la cuerda del sector como un triángulo isósceles

Treat the sector’s two radii and chord as an isosceles triangle

Pista grande:

Expresa la cuerda usando $\frac{\theta}{2},$ y luego aplica la ley de senos extendida

Express the chord using $\frac{\theta}{2},$ then apply the extended sine rule

Solución:

Los dos radios y la cuerda del sector forman un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden $6$ y cuyo ángulo del vértice es $\theta.$ Su base mide $12\sin(\frac{\theta}{2}).$ Si $R$ es el circunradio del triángulo, la ley de senos extendida da $2R=\frac{12\sin(\frac{\theta}{2})}{\sin\theta}.$ Como $\sin\theta=2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}),$ $R=3\sec\frac{\theta}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two radii and the sector’s chord form an isosceles triangle with equal sides $6$ and vertex angle $\theta.$ Its base has length $12\sin(\frac{\theta}{2}).$ If $R$ is the triangle’s circumradius, the extended sine rule gives $2R=\frac{12\sin(\frac{\theta}{2})}{\sin\theta}.$ Since $\sin\theta=2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}),$ $R=3\sec\frac{\theta}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

16.

Si la suma de todos los ángulos de un polígono convexo excepto uno es $2190^\circ,$ entonces el número de lados del polígono debe ser

If the sum of all the angles except one of a convex polygon is $2190^\circ,$ then the number of sides of the polygon must be

$13$

$15$

$17$

$19$

$21$

Conceptos:suma de ángulos desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Sea $x^\circ$ el ángulo interior omitido y $n$ el número de lados

Let the omitted interior angle be $x^\circ$ and the number of sides be $n$

Pista grande:

Usa $0\lt x\lt180$ para encerrar el entero $n-2$ en un intervalo de longitud $1$

Use $0\lt x\lt180$ to trap the integer $n-2$ in an interval of length $1$

Solución:

Si el ángulo omitido es $x^\circ,$ la convexidad da $0\lt x\lt180.$ Por lo tanto, $180(n-2)=2190+x,$ de modo que $\frac{2190}{180} \lt n-2 \lt\frac{2370}{180}.$ Esto es $12\frac16\lt n-2\lt13\frac16.$ El único entero posible es $n-2=13,$ así que $n=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the omitted angle is $x^\circ,$ then convexity gives $0\lt x\lt180.$ Hence $180(n-2)=2190+x,$ so $\frac{2190}{180} \lt n-2 \lt\frac{2370}{180}.$ This is $12\frac16\lt n-2\lt13\frac16.$ The only possible integer is $n-2=13,$ so $n=15.$

Therefore, the correct answer is B.

17.

Si $\theta$ es un ángulo agudo y $\sin\frac12\theta=\sqrt{\frac{x-1}{2x}},$ entonces $\tan\theta$ es igual a

If $\theta$ is an acute angle and $\sin\frac12\theta=\sqrt{\frac{x-1}{2x}},$ then $\tan\theta$ equals

$x$

$\dfrac1x$

$\dfrac{\sqrt{x-1}}{x+1}$

$\dfrac{\sqrt{x^2-1}}x$

$\sqrt{x^2-1}$

Conceptos:identidad trigonométrica radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Usa $\cos\theta=1-2\sin^2(\frac{\theta}{2})$

Use $\cos\theta=1-2\sin^2(\frac{\theta}{2})$

Pista grande:

Una vez conocido $\cos\theta$ , aplica $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$ y usa que $\theta$ es agudo

Once $\cos\theta$ is known, apply $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$ and use that $\theta$ is acute

Solución:

La identidad de medio ángulo da $\begin{aligned} \cos\theta &=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\ &=1-\frac{x-1}{x}\\ &=\frac1x. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1=x^2-1.$ Como $\theta$ es agudo, su tangente es positiva, así que $\tan\theta=\sqrt{x^2-1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The half-angle identity gives $\begin{aligned} \cos\theta &=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\ &=1-\frac{x-1}{x}\\ &=\frac1x. \end{aligned}$ Therefore $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1=x^2-1.$ Because $\theta$ is acute, its tangent is positive, so $\tan\theta=\sqrt{x^2-1}.$

Therefore, the correct answer is E.

18.

Si $p\ge5$ es un número primo, entonces $24$ divide a $p^2-1$ sin residuo

If $p\ge5$ is a prime number, then $24$ divides $p^2-1$ without remainder

nunca

never

solo algunas veces

sometimes only

siempre

always

solo si $p=5$

only if $p=5$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:divisibilidad primo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Factoriza $p^2-1=(p-1)(p+1)$

Factor $p^2-1=(p-1)(p+1)$

Pista grande:

Entre los tres enteros consecutivos $p-1,$ $p,$ $p+1,$ localiza factores de $3$ y $8$

Among the three consecutive integers $p-1,$ $p,$ $p+1,$ locate factors of $3$ and $8$

Solución:

Un primo $p\ge5$ es impar, así que $p-1$ y $p+1$ son enteros pares consecutivos. Uno de ellos es divisible por $4,$ por lo que su producto es divisible por $8.$ Entre los tres enteros consecutivos $p-1,$ $p,$ $p+1,$ uno es divisible por $3.$ No puede ser $p,$ pues $p\ge5$ es primo, así que $3$ también divide a $(p-1)(p+1).$ Como $3$ y $8$ son coprimos, $(p-1)(p+1)=p^2-1$ siempre es divisible por $24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A prime $p\ge5$ is odd, so $p-1$ and $p+1$ are consecutive even integers. One is divisible by $4,$ making their product divisible by $8.$ Among the three consecutive integers $p-1,$ $p,$ $p+1,$ one is divisible by $3.$ It cannot be $p,$ since $p\ge5$ is prime, so $3$ also divides $(p-1)(p+1).$ Because $3$ and $8$ are relatively prime, $(p-1)(p+1)=p^2-1$ is always divisible by $24.$

Therefore, the correct answer is C.

19.

Para $n$ y $a$ positivos, define $n_a!$ como $\begin{aligned} n_a!={}&n(n-a)(n-2a)\\ &\cdot(n-3a)\cdots(n-ka), \end{aligned}$ donde $k$ es el mayor entero para el cual $n\gt ka.$ Entonces, el cociente $\frac{72_8!}{18_2!}$ es igual a

Define $n_a!$ for positive $n$ and $a$ to be $\begin{aligned} n_a!={}&n(n-a)(n-2a)\\ &\cdot(n-3a)\cdots(n-ka), \end{aligned}$ where $k$ is the greatest integer for which $n\gt ka.$ Then the quotient $\frac{72_8!}{18_2!}$ is equal to

$4^5$

$4^6$

$4^8$

$4^9$

$4^{12}$

Conceptos:operación personalizada factorial exponente

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe ambos factoriales generalizados como nueve factores explícitos

Write both generalized factorials as nine explicit factors

Pista grande:

Extrae $8$ de cada término del numerador y $2$ de cada término del denominador

Factor $8$ from every numerator term and $2$ from every denominator term

Solución:

Los dos productos son $\begin{aligned} 72_8!&=72\cdot64\cdots8 =8^9(9!),\\ 18_2!&=18\cdot16\cdots2 =2^9(9!). \end{aligned}$ Por lo tanto, su cociente es $\frac{8^9(9!)}{2^9(9!)}=4^9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two products are $\begin{aligned} 72_8!&=72\cdot64\cdots8 =8^9(9!),\\ 18_2!&=18\cdot16\cdots2 =2^9(9!). \end{aligned}$ Their quotient is therefore $\frac{8^9(9!)}{2^9(9!)}=4^9.$

Therefore, the correct answer is D.

20.

Un vaquero está $4$ millas al sur de un arroyo que fluye directamente hacia el este. También está $8$ millas al oeste y $7$ millas al norte de su cabaña. Desea dar de beber a su caballo en el arroyo y regresar a casa. La menor distancia, en millas, que puede recorrer para lograrlo es

A cowboy is $4$ miles south of a stream which flows due east. He is also $8$ miles west and $7$ miles north of his cabin. He wishes to water his horse at the stream and return home. The shortest distance (in miles) he can travel and accomplish this is

$4+\sqrt{185}$

$16$

$17$

$18$

$\sqrt{32}+\sqrt{137}$

Conceptos:reflexión (geometría)fórmula de la distancia optimización

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Refleja el punto de partida del vaquero respecto del arroyo recto

Reflect the cowboy’s starting point across the straight stream

Pista grande:

Después de la reflexión, el trayecto de dos tramos que pasa por el arroyo se convierte en un solo segmento recto hasta la cabaña

After reflection, the two-leg trip through the stream becomes one straight segment to the cabin

Solución:

Toma el arroyo como el eje $x$ y coloca al vaquero en $C=(0,-4).$ Su cabaña está entonces en $H=(8,-11).$ Refleja $C$ respecto del arroyo para obtener $D=(0,4).$ Para cualquier punto $S$ del arroyo, $CS=DS,$ así que minimizar $CS+SH$ equivale a minimizar $DS+SH.$ Esto ocurre cuando $D,$ $S,$ $H$ son colineales. La distancia mínima es $DH=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take the stream as the $x$ -axis and put the cowboy at $C=(0,-4).$ His cabin is then $H=(8,-11).$ Reflect $C$ across the stream to $D=(0,4).$ For any point $S$ on the stream, $CS=DS,$ so minimizing $CS+SH$ is the same as minimizing $DS+SH.$ This occurs when $D,$ $S,$ $H$ are collinear. The minimum distance is $DH=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17.$

Therefore, the correct answer is C.

21.

El número de conjuntos de dos o más enteros positivos consecutivos cuya suma es $100$ es

The number of sets of two or more consecutive positive integers whose sum is $100$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:sucesión aritmética factor paridad enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Si hay $k$ términos que comienzan con $a,$ duplica la suma para obtener $200=k(2a+k-1)$

If there are $k$ terms beginning with $a,$ double the sum to obtain $200=k(2a+k-1)$

Pista grande:

Examina los divisores $k\lt\sqrt{200}$ y exige que $a$ sea un entero positivo

Check divisors $k\lt\sqrt{200}$ and enforce that $a$ is a positive integer

Solución:

Para $k\ge2$ enteros positivos consecutivos que comienzan con $a,$ $200=k(2a+k-1).$ La positividad da $k\lt\sqrt{200},$ así que los posibles divisores $k$ de $200$ son $2,4,5,8,10.$ De $2a=\frac{200}{k}-k+1,$ solo $k=5$ y $k=8$ producen lados derechos positivos y pares. Dan los conjuntos $18,19,20,21,22$ y $9,10,\ldots,16.$ Por lo tanto, hay $2$ conjuntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $k\ge2$ consecutive positive integers starting at $a,$ $200=k(2a+k-1).$ Positivity gives $k\lt\sqrt{200},$ so the possible divisors $k$ of $200$ are $2,4,5,8,10.$ From $2a=\frac{200}{k}-k+1,$ only $k=5$ and $k=8$ give positive even right-hand sides. They yield the sets $18,19,20,21,22$ and $9,10,\ldots,16.$ Hence there are $2$ sets.

Therefore, the correct answer is B.

22.

El conjunto de todas las soluciones reales de la desigualdad $|x-1|+|x+2|\lt5$ es

The set of all real solutions of the inequality $|x-1|+|x+2|\lt5$ is

$\{x:-3\lt x\lt2\}$

$\{x:-1\lt x\lt2\}$

$\{x:-2\lt x\lt1\}$

$\left\{x:-\dfrac32\lt x\lt\dfrac72\right\}$

$\varnothing$ (vacío)

$\varnothing$ (empty)

Conceptos:valor absoluto desigualdad

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Interpreta los dos valores absolutos como las distancias de $x$ a $1$ y a $-2$

Interpret the two absolute values as the distances from $x$ to $1$ and to $-2$

Pista grande:

Entre $-2$ y $1$ la suma es constante; fuera de ese intervalo aumenta en el doble de la distancia al extremo más cercano

Between $-2$ and $1$ the sum is constant; outside that interval it increases by twice the distance from the nearer endpoint

Solución:

Para $-2\le x\le1,$ la suma de las distancias de $x$ a $-2$ y $1$ es $3.$ Si $x$ está a una distancia $u$ fuera de este intervalo, la suma es $3+2u.$ Así, $3+2u\lt5 \quad\Longleftrightarrow\quad u\lt1.$ Al extender el intervalo $[-2,1]$ en $1$ por cada extremo se obtiene $-3\lt x\lt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For $-2\le x\le1,$ the sum of the distances from $x$ to $-2$ and $1$ is $3.$ If $x$ lies a distance $u$ outside this interval, the sum is $3+2u.$ Thus $3+2u\lt5 \quad\Longleftrightarrow\quad u\lt1.$ Extending the interval $[-2,1]$ by $1$ at each end gives $-3\lt x\lt2.$

Therefore, the correct answer is A.

23.

Hay dos tarjetas; una es roja por ambos lados y la otra es roja por un lado y azul por el otro. Las tarjetas tienen la misma probabilidad $(\frac{1}{2})$ de ser elegidas, y se elige una y se coloca sobre la mesa. Si la cara superior de la tarjeta es roja, la probabilidad de que la cara inferior también sea roja es

There are two cards; one is red on both sides and the other is red on one side and blue on the other. The cards have the same probability $(\frac{1}{2})$ of being chosen, and one is chosen and placed on the table. If the upper side of the card on the table is red, then the probability that the under-side is also red is

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

Conceptos:probabilidad condicional probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Condiciona según cada cara individual que podría estar mostrando rojo

Condition on the individual card sides that could be showing red

Pista grande:

Hay tres caras rojas visibles igualmente probables; determina el color detrás de cada una

There are three equally likely visible red faces; determine the color behind each

Solución:

Entre los resultados con una cara superior roja, puede quedar arriba cualquiera de las dos caras rojas de la tarjeta roja-roja o la cara roja de la tarjeta roja-azul. Estas tres caras rojas visibles son igualmente probables. La cara inferior es roja en los dos primeros casos y azul en el tercero, así que la probabilidad condicional es $\frac23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Among outcomes having a red upper side, either of the two red faces of the red-red card or the red face of the red-blue card can be uppermost. These three visible red faces are equally likely. The underside is red in the first two cases and blue in the third, so the conditional probability is $\frac23.$

Therefore, the correct answer is D.

24.

La cuenta de un almuerzo de $3$ sándwiches, $7$ tazas de café y una porción de tarta fue de $\$3.15.$ La cuenta de un almuerzo de $4$ sándwiches, $10$ tazas de café y una porción de tarta fue de $\$4.20$ en el mismo lugar. El costo de un almuerzo con un sándwich, una taza de café y una porción de tarta será

The check for a luncheon of $3$ sandwiches, $7$ cups of coffee and one piece of pie came to $\$3.15.$ The check for a luncheon consisting of $4$ sandwiches, $10$ cups of coffee and one piece of pie came to $\$4.20$ at the same place. The cost of a luncheon consisting of one sandwich, one cup of coffee and one piece of pie at the same place will come to

$\$1.70$

$\$1.65$

$\$1.20$

$\$1.05$

$\$0.95$

Conceptos:sistema de ecuaciones dinero manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Sean $s,$ $c,$ $p$ los precios de los tres artículos; solo se necesita $s+c+p$

Let $s,$ $c,$ $p$ be the three item prices; only $s+c+p$ is required

Pista grande:

Una combinación lineal adecuada de $3s+7c+p=3.15$ y $4s+10c+p=4.20$ aísla la suma deseada

A suitable linear combination of $3s+7c+p=3.15$ and $4s+10c+p=4.20$ isolates the desired sum

Solución:

Sean $s,$ $c,$ $p$ los precios de un sándwich, un café y una porción de tarta. Las cuentas dan $\begin{aligned} 3s+7c+p&=3.15,\\ 4s+10c+p&=4.20. \end{aligned}$ Tres veces la primera ecuación menos dos veces la segunda da $\begin{aligned} s+c+p &=3(3.15)-2(4.20)\\ &=1.05. \end{aligned}$ El almuerzo pedido cuesta $\$1.05.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $s,$ $c,$ $p$ be the prices of a sandwich, coffee, and pie. The checks give $\begin{aligned} 3s+7c+p&=3.15,\\ 4s+10c+p&=4.20. \end{aligned}$ Three times the first equation minus twice the second gives $\begin{aligned} s+c+p &=3(3.15)-2(4.20)\\ &=1.05. \end{aligned}$ The requested luncheon costs $\$1.05.$

Therefore, the correct answer is D.

25.

Un terreno circular de césped de $12$ pies de diámetro es atravesado por un sendero recto de grava de $3$ pies de ancho, uno de cuyos bordes pasa por el centro del terreno. El número de pies cuadrados de césped que quedan es

A circular grass plot $12$ feet in diameter is cut by a straight gravel path $3$ feet wide, one edge of which passes through the center of the plot. The number of square feet in the remaining grass area is

$36\pi-34$

$30\pi-15$

$36\pi-33$

$35\pi-9\sqrt3$

$30\pi-9\sqrt3$

Conceptos:área del círculo sector circular descomposición de áreas triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Biseca el sendero con el diámetro perpendicular del terreno circular

Bisect the path by the perpendicular diameter of the circular plot

Pista grande:

Cada mitad del sendero es un sector de $30^\circ$ junto con un triángulo de $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

Each half of the path is a $30^\circ$ sector together with a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle

Solución:

El terreno tiene radio $6.$ En el otro borde del sendero, la distancia perpendicular desde el centro es $3,$ así que el radio hasta un punto de intersección forma un ángulo de $30^\circ$ con el borde que pasa por el centro. La mitad del sendero consta de un sector de $30^\circ$ y radio $6$ , junto con un triángulo rectángulo de catetos $3$ y $3\sqrt3.$ Su área es $\begin{aligned} &\frac{30}{360}\pi(6^2) +\frac12(3)(3\sqrt3)\\ &\qquad=3\pi+\frac{9\sqrt3}{2}. \end{aligned}$ Así, el sendero completo tiene área $6\pi+9\sqrt3,$ y el área de césped restante es $36\pi-(6\pi+9\sqrt3) =30\pi-9\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The plot has radius $6.$ At the path’s other edge, the perpendicular distance from the center is $3,$ so the radius to an intersection point makes a $30^\circ$ angle with the edge through the center. Half of the path consists of a $30^\circ$ sector of radius $6$ and a right triangle with legs $3$ and $3\sqrt3.$ Its area is $\begin{aligned} &\frac{30}{360}\pi(6^2) +\frac12(3)(3\sqrt3)\\ &\qquad=3\pi+\frac{9\sqrt3}{2}. \end{aligned}$ Thus the whole path has area $6\pi+9\sqrt3,$ and the remaining grass area is $36\pi-(6\pi+9\sqrt3) =30\pi-9\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is E.

26.

El número de términos de una progresión aritmética es par. Las sumas de los términos con índices impares y pares son $24$ y $30,$ respectivamente. Si el último término supera al primero en $10.5,$ el número de términos de la progresión es

The number of terms in an A.P. (Arithmetic Progression) is even. The sums of the odd- and even-numbered terms are $24$ and $30,$ respectively. If the last term exceeds the first by $10.5,$ the number of terms in the A.P. is

$20$

$18$

$12$

$10$

$8$

Conceptos:sucesión aritmética sistema de ecuaciones emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Escribe el número de términos como $2n$ y la diferencia común como $d$

Write the number of terms as $2n$ and the common difference as $d$

Pista grande:

Empareja cada término con índice impar con el término par siguiente para obtener $nd=6$

Pair each odd-numbered term with the following even-numbered term to get $nd=6$

Solución:

Sea la progresión de $2n$ términos y diferencia común $d.$ Al emparejar cada término con índice impar con su sucesor se obtiene $nd=30-24=6.$ La diferencia entre el último y el primer término es $(2n-1)d=10.5.$ Como $2nd=12,$ al restar se obtiene $d=1.5.$ Por lo tanto, $n=\frac{6}{1.5}=4,$ y la progresión tiene $2n=8$ términos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the progression have $2n$ terms and common difference $d.$ Pairing each odd-numbered term with its successor shows that $nd=30-24=6.$ The difference between the last and first terms is $(2n-1)d=10.5.$ Since $2nd=12,$ subtraction gives $d=1.5.$ Hence $n=\frac{6}{1.5}=4,$ and the progression has $2n=8$ terms.

Therefore, the correct answer is E.

27.

Los automóviles $A$ y $B$ recorren la misma distancia. El automóvil $A$ recorre la mitad de esa distancia a $u$ millas por hora y la otra mitad a $v$ millas por hora. El automóvil $B$ viaja la mitad del tiempo a $u$ millas por hora y la otra mitad a $v$ millas por hora. La rapidez promedio de $A$ es $x$ millas por hora y la de $B$ es $y$ millas por hora. Entonces siempre se cumple

Cars $A$ and $B$ travel the same distance. Car $A$ travels half that distance at $u$ miles per hour and half at $v$ miles per hour. Car $B$ travels half the time at $u$ miles per hour and half at $v$ miles per hour. The average speed of Car $A$ is $x$ miles per hour and that of Car $B$ is $y$ miles per hour. Then we always have

$x\le y$

$x\ge y$

$x=y$

$x\lt y$

$x\gt y$

Conceptos:media armónica desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

El promedio del automóvil $A$ es la media armónica de $u$ y $v,$ mientras que el del automóvil $B$ es su media aritmética

Car $A$ ’s average is the harmonic mean of $u$ and $v,$ while Car $B$ ’s is their arithmetic mean

Pista grande:

Resta las dos medias y factoriza el numerador como un cuadrado

Subtract the two means and factor the numerator as a square

Solución:

El promedio por distancias iguales del automóvil $A$ y el promedio por tiempos iguales del automóvil $B$ son $x=\frac{2uv}{u+v}, \qquad y=\frac{u+v}{2}.$ Su diferencia es $\begin{aligned} y-x &=\frac{(u+v)^2-4uv}{2(u+v)}\\ &=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\\ &\ge0. \end{aligned}$ Así, $x\le y,$ con igualdad posible cuando $u=v.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Car $A$ ’s equal-distance average and Car $B$ ’s equal-time average are $x=\frac{2uv}{u+v}, \qquad y=\frac{u+v}{2}.$ Their difference is $\begin{aligned} y-x &=\frac{(u+v)^2-4uv}{2(u+v)}\\ &=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\\ &\ge0. \end{aligned}$ Thus $x\le y,$ with equality possible when $u=v.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

Si $a,$ $b,$ y $c$ están en progresión geométrica con $1\lt a\lt b\lt c$ y $n\gt1$ es un entero, entonces $\log_a n,$ $\log_b n,$ $\log_c n$ forman una sucesión

If $a,$ $b,$ and $c$ are in geometric progression (G.P.) with $1\lt a\lt b\lt c$ and $n\gt1$ is an integer, then $\log_a n,$ $\log_b n,$ $\log_c n$ form a sequence

que es una progresión geométrica

which is a G.P.

que es una progresión aritmética

which is an arithmetic progression (A.P.)

en la que los recíprocos de los términos forman una progresión aritmética

in which the reciprocals of the terms form an A.P.

en la que el segundo y el tercer término son, respectivamente, las potencias $n$ -ésimas del primero y del segundo

in which the second and third terms are the $n$ th powers of the first and second respectively

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:logaritmo sucesión geométrica sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Toma recíprocos y usa $\dfrac1{\log_a n}=\log_n a$

Take reciprocals and use $\dfrac1{\log_a n}=\log_n a$

Pista grande:

Aplica logaritmos a la relación de progresión geométrica $b^2=ac$

Apply logarithms to the geometric-progression relation $b^2=ac$

Solución:

Por cambio de base, $\begin{aligned} \frac1{\log_a n}&=\log_n a,\\ \frac1{\log_b n}&=\log_n b,\\ \frac1{\log_c n}&=\log_n c. \end{aligned}$ Como $a,$ $b,$ $c$ están en progresión geométrica, $b^2=ac.$ Al tomar logaritmos en base $n$ se obtiene $2\log_n b=\log_n a+\log_n c.$ Por lo tanto, los recíprocos de los tres términos dados forman una progresión aritmética.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By change of base, $\begin{aligned} \frac1{\log_a n}&=\log_n a,\\ \frac1{\log_b n}&=\log_n b,\\ \frac1{\log_c n}&=\log_n c. \end{aligned}$ Since $a,$ $b,$ $c$ are in geometric progression, $b^2=ac.$ Taking logarithms to base $n$ gives $2\log_n b=\log_n a+\log_n c.$ Hence the reciprocals of the three given terms form an arithmetic progression.

Therefore, the correct answer is C.

29.

Dos muchachos comienzan a moverse desde el mismo punto $A$ de una pista circular, pero en sentidos opuestos. Sus velocidades son $5$ pies por segundo y $9$ pies por segundo. Si parten al mismo tiempo y terminan cuando se encuentran por primera vez de nuevo en $A,$ entonces el número de veces que se encuentran, excluyendo la salida y la llegada, es

Two boys start moving from the same point $A$ on a circular track but in opposite directions. Their speeds are $5$ ft. per sec. and $9$ ft. per sec. If they start at the same time and finish when they first meet at the point $A$ again, then the number of times they meet, excluding the start and finish, is

$13$

$25$

$44$

infinito

infinity

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:velocidad relativa máximo común divisor conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Como $5$ y $9$ son coprimos, determina cuándo ambos muchachos completan por primera vez números enteros de vueltas

Because $5$ and $9$ are relatively prime, determine when both boys first complete whole numbers of laps

Pista grande:

Antes de ese instante final, se encuentran cada vez que su distancia combinada suma otra vuelta completa

Before that finish time, meetings occur whenever their combined distance is another whole lap

Solución:

Sea $L$ la longitud de la pista. Como $\gcd(5,9)=1,$ el primer instante positivo en que ambos regresan a $A$ es $t=L$ : han completado $5$ y $9$ vueltas. Su rapidez relativa es $5+9=14,$ así que antes del tiempo $L$ se encuentran en $t=\frac{kL}{14}, \qquad k=1,2,\ldots,13.$ Por lo tanto, hay $13$ encuentros sin contar la salida ni la llegada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the track length be $L.$ Since $\gcd(5,9)=1,$ the first positive time when both boys are back at $A$ is $t=L$ : they have completed $5$ and $9$ laps. Their relative speed is $5+9=14,$ so before time $L$ they meet at $t=\frac{kL}{14}, \qquad k=1,2,\ldots,13.$ Thus there are $13$ meetings excluding the start and finish.

Therefore, the correct answer is A.

30.

Sea $[t]$ el mayor entero que no excede a $t,$ donde $t\ge0,$ y $\begin{aligned} S=\{(x,y):{}&(x-T)^2+y^2\\ &\le T^2\},\\ T&=t-[t]. \end{aligned}$ Entonces se cumple

Let $[t]$ denote the greatest integer not exceeding $t,$ where $t\ge0,$ and $\begin{aligned} S=\{(x,y):{}&(x-T)^2+y^2\\ &\le T^2\},\\ T&=t-[t]. \end{aligned}$ Then we have

el punto $(0,0)$ no pertenece a $S$ para ningún $t$

the point $(0,0)$ does not belong to $S$ for any $t$

$0\le\operatorname{Area} S\le\pi$ para todo $t$

$0\le\operatorname{Area} S\le\pi$ for all $t$

$S$ está contenido en el primer cuadrante para todo $t\ge5$

$S$ is contained in the first quadrant for all $t\ge5$

el centro de $S$ para cualquier $t$ está en la recta $y=x$

the center of $S$ for any $t$ is on the line $y=x$

ninguna de las otras afirmaciones es verdadera

none of the other statements is true

Conceptos:funciones piso y techo círculo área geometría analítica

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Reconoce $T=t-[t]$ como la parte fraccionaria de $t$

Recognize $T=t-[t]$ as the fractional part of $t$

Pista grande:

Interpreta la ecuación de $S$ como un disco e identifica su centro y su radio

Interpret the equation for $S$ as a disk and identify its center and radius

Solución:

La parte fraccionaria satisface $0\le T\lt1.$ El conjunto $S$ es el disco cerrado de centro $(T,0)$ y radio $T.$ Su área es $\pi T^2,$ así que $0\le\operatorname{Area}S\lt\pi,$ lo cual en particular da $0\le\operatorname{Area}S\le\pi.$ El origen pertenece a todos esos discos, el disco se extiende por debajo del eje $x$ cuando $T\gt0,$ y su centro en general no está sobre $y=x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The fractional part satisfies $0\le T\lt1.$ The set $S$ is the closed disk centered at $(T,0)$ with radius $T.$ Its area is $\pi T^2,$ so $0\le\operatorname{Area}S\lt\pi,$ which in particular gives $0\le\operatorname{Area}S\le\pi.$ The origin lies on every such disk, the disk extends below the $x$ -axis when $T\gt0,$ and its center is generally not on $y=x.$

Therefore, the correct answer is B.

31.

En la siguiente ecuación, cada letra representa de manera única un dígito distinto en base diez: $(YE)\cdot(ME)=TTT.$ La suma $E+M+T+Y$ es igual a

In the following equation, each of the letters represents uniquely a different digit in base ten: $(YE)\cdot(ME)=TTT.$ The sum $E+M+T+Y$ equals

$19$

$20$

$21$

$22$

$24$

Conceptos:criptoaritmética divisibilidad dígitos dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Usa $TTT=111T=3\cdot37\cdot T$

Use $TTT=111T=3\cdot37\cdot T$

Pista grande:

El primo $37$ debe dividir uno de los factores de dos dígitos; prueba sus múltiplos de dos dígitos que terminan en el dígito común $E$

The prime $37$ must divide one of the two-digit factors; test its two-digit multiples ending in the common digit $E$

Solución:

Como $TTT=111T=3\cdot37\cdot T,$ el primo $37$ divide a uno de $YE$ y $ME.$ Un múltiplo de dos dígitos de $37$ es $37$ o $74.$ El valor $74$ es imposible: el otro factor de dos dígitos que termina en $4$ es al menos $14,$ y $74\cdot14\gt999.$ Por lo tanto, un factor es $37,$ así que $E=7.$

El dígito de las unidades del producto es el dígito de las unidades de $7^2,$ así que $T=9.$ Por lo tanto, el producto es $999,$ y el otro factor es $\frac{999}{37}=27.$ Los cuatro dígitos son $2,$ $3,$ $7,$ $9,$ cuya suma es $21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $TTT=111T=3\cdot37\cdot T,$ the prime $37$ divides one of $YE$ and $ME.$ A two-digit multiple of $37$ is $37$ or $74.$ The value $74$ is impossible: the other two-digit factor ending in $4$ is at least $14,$ and $74\cdot14\gt999.$ Hence one factor is $37,$ so $E=7.$

The units digit of the product is the units digit of $7^2,$ so $T=9.$ Thus the product is $999,$ and the other factor is $\frac{999}{37}=27.$ The four digits are $2,$ $3,$ $7,$ $9,$ whose sum is $21.$

Therefore, the correct answer is C.

32.

El volumen de una pirámide cuya base es un triángulo equilátero de lado $6$ y cuyas demás aristas miden $\sqrt{15}$ es

The volume of a pyramid whose base is an equilateral triangle of side length $6$ and whose other edges are each of length $\sqrt{15}$ is

$9$

$\dfrac92$

$\dfrac{27}{2}$

$\dfrac{9\sqrt3}{2}$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:pirámide triángulo equilátero volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

La altura desde el vértice corta la base en el circuncentro del triángulo equilátero

The altitude from the apex meets the base at the equilateral triangle’s circumcenter

Pista grande:

Usa el circunradio de la base $2\sqrt3$ y una arista lateral $\sqrt{15}$ para hallar la altura

Use the base circumradius $2\sqrt3$ and a lateral edge $\sqrt{15}$ to find the height

Solución:

El área de la base es $\frac{\sqrt3}{4}(6^2)=9\sqrt3.$ Como el vértice está a la misma distancia de los tres vértices de la base, su proyección perpendicular es el circuncentro de la base. El circunradio de la base equilátera es $\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.$ Si $h$ es la altura de la pirámide, entonces $h^2+(2\sqrt3)^2=(\sqrt{15})^2,$ así que $h=\sqrt3.$ El volumen es $\frac13(9\sqrt3)(\sqrt3)=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The base area is $\frac{\sqrt3}{4}(6^2)=9\sqrt3.$ Because the apex is equally distant from all three base vertices, its perpendicular projection is the base circumcenter. The circumradius of the equilateral base is $\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.$ If $h$ is the pyramid’s height, then $h^2+(2\sqrt3)^2=(\sqrt{15})^2,$ so $h=\sqrt3.$ The volume is $\frac13(9\sqrt3)(\sqrt3)=9.$

Therefore, the correct answer is A.

33.

Al añadir una onza de agua a una mezcla de ácido y agua, la nueva mezcla contiene $20\%$ de ácido. Al añadir una onza de ácido a la nueva mezcla, el resultado contiene $33\frac13\%$ de ácido. El porcentaje de ácido en la mezcla original es

When one ounce of water is added to a mixture of acid and water, the new mixture is $20\%$ acid. When one ounce of acid is added to the new mixture, the result is $33\frac13\%$ acid. The percentage of acid in the original mixture is

$22\%$

$24\%$

$25\%$

$30\%$

$33\frac13\%$

Conceptos:mezcla porcentaje sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Sean $x$ y $y$ las onzas originales de agua y ácido

Let $x$ and $y$ be the original ounces of water and acid

Pista grande:

Escribe una ecuación de concentración después de añadir agua y otra después de añadir posteriormente el ácido

Write one concentration equation after adding water and another after subsequently adding acid

Solución:

Sea la mezcla original de $x$ onzas de agua y $y$ onzas de ácido. Las dos adiciones dan $\begin{aligned} \frac{y}{x+y+1}&=\frac15,\\ \frac{y+1}{x+y+2}&=\frac13. \end{aligned}$ Estas ecuaciones se simplifican a $x+1=4y, \qquad x=2y+1.$ Por lo tanto, $y=1$ y $x=3.$ El porcentaje original de ácido era $100\cdot\frac{y}{x+y} =100\cdot\frac14=25\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the original mixture contain $x$ ounces of water and $y$ ounces of acid. The two additions give $\begin{aligned} \frac{y}{x+y+1}&=\frac15,\\ \frac{y+1}{x+y+2}&=\frac13. \end{aligned}$ These simplify to $x+1=4y, \qquad x=2y+1.$ Hence $y=1$ and $x=3.$ The original acid percentage was $100\cdot\frac{y}{x+y} =100\cdot\frac14=25\%.$

Therefore, the correct answer is C.

34.

Un avión voló directamente contra el viento entre dos ciudades en $84$ minutos y regresó con el viento en $9$ minutos menos de lo que tardaría con aire en calma. El número de minutos, con dos respuestas, del viaje de regreso fue

A plane flew straight against a wind between two towns in $84$ minutes and returned with that wind in $9$ minutes less than it would take in still air. The number of minutes (two answers) for the return trip was

$54$ o $18$

$54$ or $18$

$60$ o $15$

$60$ or $15$

$63$ o $12$

$63$ or $12$

$72$ o $36$

$72$ or $36$

$75$ o $20$

$75$ or $20$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo cuadrática sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Sea $x$ el tiempo de regreso; el tiempo con aire en calma es entonces $x+9$

Let $x$ be the return time; the still-air time is then $x+9$

Pista grande:

La velocidad del avión en aire en calma es el promedio de sus velocidades terrestres contra el viento y a favor del viento

The plane’s still-air speed is the average of its against-wind and with-wind ground speeds

Solución:

Sea $d$ la distancia y $x$ minutos el tiempo de regreso. Las velocidades contra el viento y a favor del viento son $\frac{d}{84}$ y $\frac{d}{x}.$ Su promedio es la velocidad en aire en calma $\frac{d}{x+9}.$ Por lo tanto, $\frac{2}{x+9}=\frac1{84}+\frac1x.$ Al eliminar denominadores se obtiene $\begin{gathered} 168x=(x+9)(x+84),\\ x^2-75x+756=0,\\ (x-63)(x-12)=0. \end{gathered}$ Ambos valores positivos son compatibles con las condiciones dadas, así que los dos tiempos de regreso son $63$ y $12$ minutos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the distance be $d$ and the return time be $x$ minutes. The against-wind and with-wind speeds are $\frac{d}{84}$ and $\frac{d}{x}.$ Their average is the still-air speed $\frac{d}{x+9}.$ Therefore $\frac{2}{x+9}=\frac1{84}+\frac1x.$ Clearing denominators gives $\begin{gathered} 168x=(x+9)(x+84),\\ x^2-75x+756=0,\\ (x-63)(x-12)=0. \end{gathered}$ Both positive values are consistent with the stated conditions, so the two return times are $63$ and $12$ minutes.

Therefore, the correct answer is C.

35.

En el círculo unitario mostrado, las cuerdas $PQ$ y $MN$ son paralelas al radio unitario $OR$ del círculo con centro $O.$ Las cuerdas $MP,$ $PQ,$ y $NR$ miden $s$ unidades cada una, y la cuerda $MN$ mide $d$ unidades.

De las tres ecuaciones $\begin{array}{rl} \mathrm{I}.&d-s=1,\\ \mathrm{II}.&ds=1,\\ \mathrm{III}.&d^2-s^2=\sqrt5 \end{array}$ las que son necesariamente verdaderas son

In the unit circle shown in the figure, chords $PQ$ and $MN$ are parallel to the unit radius $OR$ of the circle with center at $O.$ Chords $MP,$ $PQ,$ and $NR$ are each $s$ units long and chord $MN$ is $d$ units long.

Of the three equations $\begin{array}{rl} \mathrm{I}.&d-s=1,\\ \mathrm{II}.&ds=1,\\ \mathrm{III}.&d^2-s^2=\sqrt5 \end{array}$ those which are necessarily true are

solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

solo $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ and $\mathrm{III}$

Conceptos:cuerda círculo identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Usa la simetría respecto del diámetro vertical para ver que la semicircunferencia superior está dividida por cinco cuerdas iguales

Use symmetry across the vertical diameter to see that the upper semicircle is divided into five equal chords

Pista grande:

Escribe $s=2\sin18^\circ$ y $d=2\sin54^\circ,$ y luego relaciona cada uno con el cuadrado del otro

Write $s=2\sin18^\circ$ and $d=2\sin54^\circ,$ then relate each to the square of the other

Solución:

Sea $K$ el extremo izquierdo del diámetro horizontal. La reflexión respecto del diámetro vertical muestra que $KM=NR=s$ y $QN=MP=s.$ Junto con las cuerdas iguales dadas, la semicircunferencia superior queda dividida en cinco arcos iguales. Cada uno subtiende $36^\circ$ en $O.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} s&=2\sin18^\circ,\\ d&=2\sin54^\circ\\ &=2\cos36^\circ. \end{aligned}$

Usando las identidades de ángulo doble, $\begin{aligned} d&=2(1-2\sin^218^\circ)\\ &=2-s^2,\\ s&=2\cos72^\circ\\ &=4\cos^236^\circ-2\\ &=d^2-2. \end{aligned}$ Al sumar estas ecuaciones se obtiene $d+s=d^2-s^2=(d-s)(d+s).$ Como $d+s\gt0,$ se sigue que $d-s=1.$ Al sustituir $d=s+1$ en $d=2-s^2$ se obtiene $s^2+s=1, \qquad s=\frac{\sqrt5-1}{2}.$ Por lo tanto, $ds=s(s+1)=1$ y $\begin{aligned} d^2-s^2 &=(d-s)(d+s)\\ &=2s+1\\ &=\sqrt5. \end{aligned}$ Las tres ecuaciones son necesariamente verdaderas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $K$ be the left endpoint of the horizontal diameter. Reflection across the vertical diameter shows that $KM=NR=s$ and $QN=MP=s.$ Together with the given equal chords, the upper semicircle is split into five equal arcs. Each subtends $36^\circ$ at $O.$ Thus $\begin{aligned} s&=2\sin18^\circ,\\ d&=2\sin54^\circ\\ &=2\cos36^\circ. \end{aligned}$

Using the double-angle identities, $\begin{aligned} d&=2(1-2\sin^218^\circ)\\ &=2-s^2,\\ s&=2\cos72^\circ\\ &=4\cos^236^\circ-2\\ &=d^2-2. \end{aligned}$ Adding these equations gives $d+s=d^2-s^2=(d-s)(d+s).$ Since $d+s\gt0,$ it follows that $d-s=1.$ Substituting $d=s+1$ into $d=2-s^2$ yields $s^2+s=1, \qquad s=\frac{\sqrt5-1}{2}.$ Therefore $ds=s(s+1)=1$ and $\begin{aligned} d^2-s^2 &=(d-s)(d+s)\\ &=2s+1\\ &=\sqrt5. \end{aligned}$ All three equations are necessarily true.

Therefore, the correct answer is E.