Question

Si $n$ es cualquier entero no negativo, $n^2(n^2-1)$ siempre es divisible entre:

If $n$ is any whole number, $n^2(n^2-1)$ is always divisible by:

$12$

$24$

cualquier múltiplo de $12$

any multiple of $12$

$12-n$

$12$ y $24$

$12$ and $24$

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad consecutive integers paridad

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Factoriza la expresión como $n^2(n-1)(n+1)$

Factor the expression as $n^2(n-1)(n+1)$

Pista grande:

Entre tres enteros consecutivos hay un múltiplo de $3,$ y los factores aportan al menos dos factores $2$

Among three consecutive integers there is a multiple of $3,$ and the factors supply at least two powers of $2$

Solución:

Tenemos $n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).$ Entre $n-1,$ $n,$ y $n+1,$ uno es divisible entre $3.$ Si $n$ es par, $n^2$ es divisible entre $4;$ si $n$ es impar, tanto $n-1$ como $n+1$ son pares, por lo que su producto es divisible entre $4.$ Así, la expresión siempre es divisible entre $12.$ No siempre es divisible entre $24,$ pues $n=2$ da $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).$ Among $n-1,$ $n,$ and $n+1,$ one is divisible by $3.$ If $n$ is even, $n^2$ is divisible by $4;$ if $n$ is odd, both $n-1$ and $n+1$ are even, so their product is divisible by $4.$ Thus the expression is always divisible by $12.$ It is not always divisible by $24,$ since $n=2$ gives $12.$

Therefore, the correct answer is A.

1956 AMC 12 Problema 34

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 34 en otros años