Question

¿Para qué valores reales de $K$ tiene raíces reales la ecuación $x=K^2(x-1)(x-2)$ ?

For what real values of $K$ does $x=K^2(x-1)(x-2)$ have real roots?

ninguno

none

$-2\lt K\lt1$

$-2\sqrt2\lt K\lt2\sqrt2$

$K\gt1$ o $K\lt-2$

$K\gt1$ or $K\lt-2$

todos

all

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Desarrolla y agrupa los términos para obtener una ecuación cuadrática en $x$

Expand and collect terms to obtain a quadratic in $x$

Pista grande:

Su discriminante se simplifica a $K^4+6K^2+1$

Its discriminant simplifies to $K^4+6K^2+1$

Solución:

Al reordenar se obtiene $K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0.$ Para todo $K$ real, su discriminante es $\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0. \end{aligned}$ Esto también abarca $K=0,$ cuando la ecuación original da $x=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Rearranging gives $K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0.$ Its discriminant is $\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0 \end{aligned}$ for every real $K.$ This also covers $K=0,$ when the original equation gives $x=0.$

Therefore, the correct answer is E.

1962 AMC 12 Problema 34

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 34 en otros años