Question

当实数 $K$ 取哪些值时，方程 $x=K^2(x-1)(x-2)$ 有实根？

For what real values of $K$ does $x=K^2(x-1)(x-2)$ have real roots?

没有任何值

none

$-2\lt K\lt1$

$-2\sqrt2\lt K\lt2\sqrt2$

$K\gt1$ 或 $K\lt-2$

$K\gt1$ or $K\lt-2$

所有实数

all

答案：E

知识点：二次方程代数变形

难度评级：1550

小提示：

展开并合并同类项，得到关于 $x$ 的二次方程

Expand and collect terms to obtain a quadratic in $x$

大提示：

其判别式化简为 $K^4+6K^2+1$

Its discriminant simplifies to $K^4+6K^2+1$

解答：

整理得 $K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0\text{。}$ 对每个实数 $K$ ，其判别式均满足 $\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0 \end{aligned}\text{。}$ 这也包括 $K=0$ 的情形，此时原方程给出 $x=0$ 。

所以正确答案是 E。

Rearranging gives $K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0.$ Its discriminant is $\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0 \end{aligned}$ for every real $K.$ This also covers $K=0,$ when the original equation gives $x=0.$

Therefore, the correct answer is E.

1962 AMC 12 第 34 题

答案：E

难度评级：1550

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 34 题