Question

当 $x\geq0$ 时， $\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)}$ 的最小值为：

For $x\geq0,$ the smallest value of $\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)}$ is:

$1$

$2$

$\dfrac{25}{12}$

$\dfrac{13}{6}$

$\dfrac{34}{5}$

答案：B

知识点：最优化算术-几何平均不等式换元法

难度评级：1950

小提示：

令 $t=x+1\geq1$

Set $t=x+1\geq1$

大提示：

将表达式改写为 $\frac23t+\frac{3}{2t}$

Rewrite the expression as $\frac23t+\frac{3}{2t}$

解答：

令 $t=x+1\geq1$ 。因为 $4x^2+8x+13=4t^2+9$ ，所以原式为 $\frac23t+\frac{3}{2t}\text{。}$ 由算术平均数不小于几何平均数，该式至少为 $2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2$ ，且在允许的 $t=\frac{3}{2}$ 处取等号。

因此，正确答案是 B。

Let $t=x+1\geq1.$ Since $4x^2+8x+13=4t^2+9,$ the expression is $\frac23t+\frac{3}{2t}.$ By AM-GM this is at least $2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2,$ with equality at $t=\frac{3}{2},$ which is allowed.

Therefore, the correct answer is B.

1965 AMC 12 第 34 题

答案：B

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 34 题