Question

若 $n$ 是 $4$ 的倍数，则和式

$\begin{aligned} s&=1+2i+3i^2+\cdots\\ &\quad+(n+1)i^n \end{aligned}\text{，}$

其中 $i=\sqrt{-1}$ ，其值为：

If $n$ is a multiple of $4,$ the sum

$\begin{aligned} s&=1+2i+3i^2+\cdots\\ &\quad+(n+1)i^n, \end{aligned}$

where $i=\sqrt{-1},$ equals:

$1+i$

$\dfrac12(n+2)$

$\dfrac12(n+2-ni)$

$\dfrac12\left[(n+1)(1-i)+2\right]$

$\dfrac18(n^2+8-4ni)$

答案：C

知识点：复数单位根求和

难度评级：1870

小提示：

按 $i$ 的每四个连续幂将各项分组

Group the terms in blocks of four powers of $i$

大提示：

每个以系数 $4j+1$ 开始的完整组之和为 $-2-2i$

Each complete block beginning with coefficient $4j+1$ sums to $-2-2i$

解答：

写成 $n=4m$ 。对 $j=0,\ldots,m-1$ ，指数从 $4j$ 到 $4j+3$ 的四项之和为 $\begin{aligned} &(4j+1)+(4j+2)i\\ &\quad-(4j+3)-(4j+4)i\\ &=-2-2i \end{aligned}\text{。}$ 最后一项为 $4m+1$ 。因此 $\begin{aligned} s&=m(-2-2i)+(4m+1)\\ &=\frac{n+2-ni}{2} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Write $n=4m.$ For $j=0,\ldots,m-1,$ the four terms with exponents $4j$ through $4j+3$ sum to $\begin{aligned} &(4j+1)+(4j+2)i\\ &\quad-(4j+3)-(4j+4)i\\ &=-2-2i. \end{aligned}$ The final term is $4m+1.$ Therefore $\begin{aligned} s&=m(-2-2i)+(4m+1)\\ &=\frac{n+2-ni}{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

1964 AMC 12 第 34 题

答案：C

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 34 题