Question

用 $x^2-3x+2$ 除 $x^{100}$ 所得的余式 $R$ 是次数小于 $2$ 的多项式。则 $R$ 可以写成：

The remainder $R$ obtained by dividing $x^{100}$ by $x^2-3x+2$ is a polynomial of degree less than $2.$ Then $R$ may be written as:

$2^{100}-1$

$2^{100}(x-1)-(x-2)$

$2^{100}(x-3)$

$x(2^{100}-1)+2(2^{99}-1)$

$2^{100}(x+1)-(x+2)$

答案：B

知识点：多项式方程组换元法

难度评级：2010

小提示：

写成 $R(x)=ax+b$ ，并利用 $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

Write $R(x)=ax+b$ and use $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

大提示：

分别在 $x=1$ 与 $x=2$ 处代入多项式除法恒等式

Evaluate the division identity at $x=1$ and $x=2$

解答：

写成 $R(x)=ax+b$ 。由于除式为 $(x-1)(x-2)$ ，在它的两个根处代入多项式除法恒等式，得到 $R(1)=1,\qquad R(2)=2^{100}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} R(x)&=1+(2^{100}-1)(x-1)\\ &=2^{100}(x-1)-(x-2) \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Write $R(x)=ax+b.$ Since the divisor is $(x-1)(x-2),$ evaluating the division identity at its roots gives $R(1)=1,\qquad R(2)=2^{100}.$ Therefore $\begin{aligned} R(x)&=1+(2^{100}-1)(x-1)\\ &=2^{100}(x-1)-(x-2). \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1969 AMC 12 第 34 题

答案：B

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 34 题