Question

在三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 、 $BC$ 和 $CA$ 上分别取点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，使得 $AD:DB=1:n$ 、 $BE:CE=1:n$ ，且 $CF:FA=1:n$ 。三角形 $DEF$ 与三角形 $ABC$ 的面积之比为：

Points $D,$ $E,$ $F$ are taken respectively on sides $AB,$ $BC,$ and $CA$ of triangle $ABC$ so that $AD:DB=1:n,$ $BE:CE=1:n,$ and $CF:FA=1:n.$ The ratio of the area of triangle $DEF$ to that of triangle $ABC$ is:

$\dfrac{n^2-n+1}{(n+1)^2}$

$\dfrac1{(n+1)^2}$

$\dfrac{2n^3}{(n+1)^2}$

$\dfrac{n^3}{(n+1)^2}$

$\dfrac{n(n-1)}{n+1}$

答案：A

知识点：三角形面积面积分割比与比例

难度评级：1710

小提示：

从三角形 $ABC$ 中减去三个顶角处的小三角形

Subtract the three corner triangles from triangle $ABC$

大提示：

每个顶角处的小三角形与原三角形的面积比都是 $\frac{n}{(n+1)^2}$

Each corner triangle has area ratio $\frac{n}{(n+1)^2}$

解答：

在每个顶点处，小三角形所占相邻两边的比例分别为 $\frac{1}{n+1}$ 和 $\frac{n}{n+1}$ 。因此，每个顶角处的小三角形面积都是 $[ABC]$ 的 $\frac{n}{(n+1)^2}$ 倍。所以 $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

At each vertex, the two adjacent side fractions used by the corner triangle are $\frac{1}{n+1}$ and $\frac{n}{n+1}.$ Thus each corner triangle has area $\frac{n}{(n+1)^2}$ times $[ABC].$ Therefore $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 第 34 题

答案：A

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 34 题