Question

方程 $64x^3-144x^2+92x-15=0$ 的各根成等差数列。最大根与最小根之差为：

The roots of $64x^3-144x^2+92x-15=0$ are in arithmetic progression. The difference between the largest and smallest roots is:

$2$

$1$

$\dfrac12$

$\dfrac38$

$\dfrac14$

答案：B

知识点：多项式等差数列韦达定理

难度评级：1750

小提示：

将三个根写成 $t-d$ 、 $t$ 、 $t+d$

Write the roots as $t-d,$ $t,$ and $t+d$

大提示：

先利用根的和求出 $t$ ，再利用根的积求出 $d^2$

Use their sum to find $t,$ then use their product to find $d^2$

解答：

设三个根为 $t-d$ 、 $t$ 、 $t+d$ 。它们的和为 $3t=\frac{144}{64}=\frac{9}{4}$ ，所以 $t=\frac{3}{4}$ 。它们的积为 $t(t^2-d^2)=\frac{15}{64}\text{。}$ 代入 $t=\frac{3}{4}$ 得 $d^2=\frac{1}{4}$ ，所以最大根与最小根之差为 $2\lvert d\rvert=1$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the roots be $t-d,$ $t,$ and $t+d.$ Their sum is $3t=\frac{144}{64}=\frac{9}{4},$ so $t=\frac{3}{4}.$ Their product is $t(t^2-d^2)=\frac{15}{64}.$ Substituting $t=\frac{3}{4}$ gives $d^2=\frac{1}{4},$ so the difference between the extreme roots is $2\lvert d\rvert=1.$

Therefore, the correct answer is B.

1967 AMC 12 第 35 题

答案：B

难度评级：1750

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题