Question

一名退休员工领取的年度养老金与其服务年数的平方根成正比。若他多服务 $a$ 年，养老金将增加 $p$ 美元；若他多服务 $b$ 年（ $b\ne a$ ），养老金将比原年度养老金增加 $q$ 美元。用 $a$ 、 $b$ 、 $p$ 、 $q$ 表示他的年度养老金。

A retiring employee receives an annual pension proportional to the square root of the number of years of his service. Had he served $a$ years more, his pension would have been $p$ dollars greater, whereas, had he served $b$ years more ( $b\ne a$ ), his pension would have been $q$ dollars greater than the original annual pension. Find his annual pension in terms of $a,$ $b,$ $p,$ and $q.$

$\dfrac{p^2-q^2}{2(a-b)}$

$\dfrac{(p-q)^2}{2\sqrt{ab}}$

$\dfrac{ap^2-bq^2}{2(ap-bq)}$

$\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}$

$\sqrt{(a-b)(p-q)}$

答案：D

知识点：比与比例根式方程组代数变形

难度评级：2440

小提示：

设当前养老金为 $X=k\sqrt n$ ，并写出两种假设情况下的养老金

Let the current pension be $X=k\sqrt n$ and write the two hypothetical pensions

大提示：

将 $X+p=k\sqrt{n+a}$ 和 $X+q=k\sqrt{n+b}$ 分别平方，再消去 $n$ 和 $k^2$

Square $X+p=k\sqrt{n+a}$ and $X+q=k\sqrt{n+b}$ , then eliminate both $n$ and $k^2$

解答：

设当前养老金为 $X=k\sqrt n$ 。因为 $X+p=k\sqrt{n+a}$ ，且 $X+q=k\sqrt{n+b}$ ，分别平方并利用 $X^2=k^2n$ ，得到下面前两个方程。再将它们分别乘以 $b$ 和 $a$ ，相减后得到第三个方程： $\begin{gathered} 2pX+p^2=k^2a,\\ 2qX+q^2=k^2b,\\ 2X(bp-aq)=aq^2-bp^2 \end{gathered}\text{。}$ 因此 $X=\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the current pension be $X=k\sqrt n.$ Since $X+p=k\sqrt{n+a}$ and $X+q=k\sqrt{n+b},$ squaring and using $X^2=k^2n$ gives the first line below. Multiplying its equations by $b$ and $a,$ respectively, and subtracting gives the second: $\begin{gathered} 2pX+p^2=k^2a,\\ 2qX+q^2=k^2b,\\ 2X(bp-aq)=aq^2-bp^2. \end{gathered}$ Hence $X=\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}.$

Therefore, the correct answer is D.

1970 AMC 12 第 35 题

答案：D

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题