Question

将表达式 $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}$ 的分母有理化，所得等价表达式为：

With a rational denominator, the expression $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}$ is equivalent to:

$\dfrac{3+\sqrt6+\sqrt{15}}6$

$\dfrac{\sqrt6-2+\sqrt{10}}6$

$\dfrac{2+\sqrt6+\sqrt{10}}{10}$

$\dfrac{2+\sqrt6-\sqrt{10}}6$

以上答案均不正确

None of these

答案：A

知识点：根式分母有理化代数变形

难度评级：2210

小提示：

先将分母看作 $(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5$ ，再乘以其共轭式

First treat the denominator as $(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5$ and multiply by its conjugate

大提示：

第一次有理化后，分母中仍含 $\sqrt6$ ；再使用一个共轭式

After the first rationalization, a denominator containing $\sqrt6$ remains; use another conjugate

解答：

先乘以共轭式 $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5$ ，得到 $\begin{aligned} &\frac{\sqrt2(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)} {(\sqrt2+\sqrt3)^2-5}\\ &\qquad=\frac{2+\sqrt6+\sqrt{10}}{2\sqrt6} \end{aligned}\text{。}$ 再将分子、分母同乘 $\sqrt6$ ，得到 $\begin{gathered} \frac{2\sqrt6+6+\sqrt{60}}{12} \\ =\frac{3+\sqrt6+\sqrt{15}}6 \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Multiply first by the conjugate $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5.$ This gives $\begin{aligned} &\frac{\sqrt2(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)} {(\sqrt2+\sqrt3)^2-5}\\ &\qquad=\frac{2+\sqrt6+\sqrt{10}}{2\sqrt6}. \end{aligned}$ Multiplying numerator and denominator by $\sqrt6$ yields $\begin{gathered} \frac{2\sqrt6+6+\sqrt{60}}{12} \\ =\frac{3+\sqrt6+\sqrt{15}}6. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

1952 AMC 12 第 35 题

答案：A

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题