Question

边 $AB$ 长为 $2$ 英寸的等边三角形 $ABP$ 放在边长为 $4$ 英寸的正方形 $AXYZ$ 内，使 $B$ 位于边 $AX$ 上。三角形先绕 $B$ 顺时针旋转，再绕 $P$ 旋转，如此沿正方形各边滚动，直到 $P$ 、 $A$ 和 $B$ 都回到各自的初始位置。顶点 $P$ 所走路径的长度（英寸）为：

Equilateral triangle $ABP$ with side $AB$ of length $2$ inches is placed inside square $AXYZ$ with side of length $4$ inches so that $B$ is on side $AX.$ The triangle is rotated clockwise about $B,$ then $P,$ and so on along the sides of the square until $P,$ $A,$ and $B$ all return to their original positions. The length of the path in inches traversed by vertex $P$ is equal to:

$\dfrac{20\pi}{3}$

$\dfrac{32\pi}{3}$

$12\pi$

$\dfrac{40\pi}{3}$

$15\pi$

答案：D

知识点：等边三角形变换弧过程模拟

难度评级：2450

小提示：

追踪绕正方形完成一圈八次转轴后的三角形方向

Track the orientation after one eight-pivot circuit of the square

大提示：

共需三圈；按 $P$ 保持不动、沿 $120^\circ$ 圆弧移动或沿 $30^\circ$ 圆弧移动来分类各次转轴

Three circuits are needed; classify the pivots according to whether $P$ is fixed or moves through a $120^\circ$ or $30^\circ$ arc

解答：

沿正方形完成一圈需要 $8$ 次转轴，并使三角形的方向改变一整圈的 $\frac{2}{3}$ 。因此，整个三角形恢复初始位置需要 $3$ 圈，即 $24$ 次转轴。其中有 $8$ 次绕 $P$ 旋转，所以 $P$ 不动。其余 $16$ 次中，八段圆弧所对圆心角为 $120^\circ$ ，另八段为 $30^\circ$ ，半径均为 $2$ 。因此路径总长为 $\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

One circuit of the square uses $8$ pivots and changes the triangle’s orientation by $\frac{2}{3}$ of a full turn. Therefore $3$ circuits, or $24$ pivots, are required to restore the entire triangle. In $8$ of those pivots the rotation is about $P,$ so $P$ does not move. In the other $16,$ eight arcs subtend $120^\circ$ and eight subtend $30^\circ,$ all with radius $2.$ Hence the total path length is $\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

1972 AMC 12 第 35 题

答案：D

难度评级：2450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题