Question

直角三角形 $ABC$ 的边 $\overline{AC}$ 被分成 $8$ 等份。从七个分点分别向 $\overline{AB}$ 作平行于 $\overline{BC}$ 的线段。若 $BC=10$ ，则这七条线段的长度之和：

Side $\overline{AC}$ of right triangle $ABC$ is divided into $8$ equal parts. Seven line segments parallel to $\overline{BC}$ are drawn to $\overline{AB}$ from the points of division. If $BC=10,$ then the sum of the lengths of the seven line segments:

无法由已知条件求出

cannot be found from the given information

为 $33$

is $33$

为 $34$

is $34$

为 $35$

is $35$

为 $45$

is $45$

答案：D

知识点：相似等差数列求和

难度评级：1530

小提示：

每个以 $A$ 为顶点的小三角形都与三角形 $ABC$ 相似

Each small triangle with vertex $A$ is similar to triangle $ABC$

大提示：

七条平行线段的长度为 $\frac{10}{8},\frac{20}{8},\ldots,\frac{70}{8}$

The seven parallel lengths are $\frac{10}{8},\frac{20}{8},\ldots,\frac{70}{8}$

解答：

由相似性可知，当 $k=1,\ldots,7$ 时，第 $k$ 个分点处的线段长为 $\frac{10k}{8}$ 。它们的和为 $\begin{aligned} \frac{10}{8}(1+2+\cdots+7) &=\frac{10}{8}\cdot28\\ &=35 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

By similarity, the segment at the $k$ th division point has length $\frac{10k}{8}$ for $k=1,\ldots,7.$ Their sum is $\begin{aligned} \frac{10}{8}(1+2+\cdots+7) &=\frac{10}{8}\cdot28\\ &=35. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

1957 AMC 12 第 35 题

答案：D

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题