Question

在图中，圆心为 $O$ ，半径为 $a$ 英寸，弦 $EF$ 平行于弦 $CD$ ， $O$ 、 $G$ 、 $H$ 、 $J$ 共线，且 $G$ 是 $CD$ 的中点。设 $K$ （平方英寸）表示梯形 $CDFE$ 的面积， $R$ （平方英寸）表示矩形 $ELMF$ 的面积。将 $CD$ 与 $EF$ 向上平移，使 $OG$ 增大并趋近于 $a$ ，同时始终保持 $JH$ 等于 $HG$ ，则比值 $K:R$ 可以任意接近：

In this diagram the center of the circle is $O,$ the radius is $a$ inches, chord $EF$ is parallel to chord $CD,$ $O,$ $G,$ $H,$ $J$ are collinear, and $G$ is the midpoint of $CD.$ Let $K$ (square inches) represent the area of trapezoid $CDFE$ and let $R$ (square inches) represent the area of rectangle $ELMF.$ Then, as $CD$ and $EF$ are translated upward so that $OG$ increases toward the value $a,$ while $JH$ always equals $HG,$ the ratio $K:R$ becomes arbitrarily close to:

$0$

$1$

$\sqrt2$

$\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac12$

$\dfrac1{\sqrt2}+1$

答案：D

知识点：圆弦梯形微积分

难度评级：2650

小提示：

令 $JH=HG=x$ ，则 $OG=a-2x$ ，且 $OH=a-x$

Let $JH=HG=x,$ so $OG=a-2x$ and $OH=a-x$

大提示：

用勾股定理表示两条半弦，再令 $x$ 趋近于 $0$

Express the two half-chords with the Pythagorean theorem, then let $x$ approach $0$

解答：

令 $JH=HG=x$ 。则 $OG=a-2x$ ，且 $OH=a-x$ 。两条半弦为 $\begin{aligned} GD&=2\sqrt{x(a-x)},\\ HF&=\sqrt{x(2a-x)}\text{。} \end{aligned}$ 由于两个图形的高均为 $x$ ， $\begin{aligned} \frac KR&=\frac{x(GD+HF)}{2x(HF)}\\ &=\frac12+\frac{GD}{2HF}\text{。} \end{aligned}$ 当 $x$ 趋近于 $0$ 时，后一个分数趋近于 $\frac{2\sqrt{ax}}{2\sqrt{2ax}}=\frac1{\sqrt2}\text{。}$ 因此 $K:R$ 趋近于 $\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{2}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $JH=HG=x.$ Then $OG=a-2x$ and $OH=a-x.$ The half-chords are $\begin{aligned} GD&=2\sqrt{x(a-x)},\\ HF&=\sqrt{x(2a-x)}. \end{aligned}$ Since both figures have height $x,$ $\begin{aligned} \frac KR&=\frac{x(GD+HF)}{2x(HF)}\\ &=\frac12+\frac{GD}{2HF}. \end{aligned}$ As $x$ approaches $0,$ the latter fraction approaches $\frac{2\sqrt{ax}}{2\sqrt{2ax}}=\frac1{\sqrt2}.$ Thus $K:R$ approaches $\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

1968 AMC 12 第 35 题

答案：D

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题