Question

将数 $695$ 用阶乘进制表示，即 $\begin{aligned} 695={}&a_1+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!\\ &+\cdots+a_n\cdot n! \end{aligned}\text{，}$ 其中 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 、 $a_n$ 是满足 $0\le a_k\le k$ 的整数，且 $n!$ 表示 $n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$ 。求 $a_4$ 。

The number $695$ is to be written with a factorial base of numeration, that is, $\begin{aligned} 695={}&a_1+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!\\ &+\cdots+a_n\cdot n!, \end{aligned}$ where $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_n$ are integers such that $0\le a_k\le k,$ and $n!$ means $n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1.$ Find $a_4.$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：D

知识点：进制阶乘

难度评级：1500

小提示：

从不超过 $695$ 的最大阶乘开始

Begin with the largest factorial not exceeding $695$

大提示：

去掉 $5!$ 的贡献后，用余数除以 $4!$

After removing the $5!$ contribution, divide the remainder by $4!$

解答：

因为 $5!=120$ ， $695=5\cdot120+95\text{。}$ 接着 $4!=24$ ，且 $95=3\cdot24+23$ 。因此系数 $a_4$ 为 $3$ 。

所以，正确答案是 D。

Since $5!=120,$ $695=5\cdot120+95.$ Next $4!=24,$ and $95=3\cdot24+23.$ Therefore the coefficient $a_4$ is $3.$

Thus, the correct answer is D.

1961 AMC 12 第 35 题

答案：D

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题