Question

在三角形 $ABC$ 中，从 $A$ 引出的中线垂直于从 $B$ 引出的中线。若 $BC=7$ 且 $AC=6$ ，求 $AB$ 的长度。

In triangle $ABC$ the median from $A$ is perpendicular to the median from $B.$ If $BC=7$ and $AC=6,$ find the length of $AB.$

$4$

$\sqrt{17}$

$4.25$

$2\sqrt5$

$4.5$

答案：B

知识点：中线（几何）向量坐标几何

难度评级：1710

小提示：

将 $A$ 置于原点，用向量表示 $B$ 和 $C$

Put $A$ at the origin and represent $B$ and $C$ by vectors

大提示：

写出两条中线的方向向量，并令其点积为零

Write direction vectors for the two medians and set their dot product to zero

解答：

令 $A=\mathbf0$ 、 $B=\mathbf b$ 、 $C=\mathbf c$ ，其中 $|\mathbf b|=\ell$ 、 $|\mathbf c|=6$ ，且 $|\mathbf c-\mathbf b|=7$ 。从 $A$ 和 $B$ 引出的中线方向分别为 $\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}$ 和 $\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b$ 。其点积为零，故 $(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0\text{。}$ 使用 $\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2}$ ，化简得 $\ell^2=17$ 。所以 $AB=\sqrt{17}$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $A=\mathbf0,$ $B=\mathbf b,$ and $C=\mathbf c,$ with $|\mathbf b|=\ell,$ $|\mathbf c|=6,$ and $|\mathbf c-\mathbf b|=7.$ The median directions are $\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}$ from $A$ and $\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b$ from $B.$ Their dot product is zero, so $(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0.$ Using $\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2},$ this simplifies to $\ell^2=17.$ Hence $AB=\sqrt{17}.$

Therefore, the correct answer is B.

1961 AMC 12 第 36 题

答案：B

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 36 题