Question

设

$\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}$

是关于 $x$ 的恒等式。若令 $s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n}$ ，则 $s$ 等于：

Let

$\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}$

be an identity in $x.$ If we let $s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},$ then $s$ equals:

$2^n$

$2^n+1$

$\dfrac{3^n-1}{2}$

$\dfrac{3^n}{2}$

$\dfrac{3^n+1}{2}$

答案：E

知识点：奇偶性多项式换元法

难度评级：1430

小提示：

分别令多项式中的 $x=1$ 与 $x=-1$

Evaluate the polynomial at $x=1$ and $x=-1$

大提示：

将这两个值相加，所有奇数次项的系数都会相消

Adding those two values cancels all odd-degree coefficients

解答：

设 $P(x)=(1+x+x^2)^n$ 。则 $P(1)=3^n$ 是所有系数之和，而 $P(-1)=1$ 是偶数次项系数之和减去奇数次项系数之和。因此 $s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Let $P(x)=(1+x+x^2)^n.$ Then $P(1)=3^n$ is the sum of all coefficients, while $P(-1)=1$ is the even-coefficient sum minus the odd-coefficient sum. Therefore $s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.$

Therefore, the correct answer is E.

1966 AMC 12 第 36 题

答案：E

难度评级：1430

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 36 题