Question

若和 $1+2+3+\cdots+K$ 是完全平方数 $N^2$ ，且 $N$ 小于 $100$ ，则 $K$ 的可能值为：

If the sum $1+2+3+\cdots+K$ is a perfect square $N^2$ and if $N$ is less than $100,$ then the possible values for $K$ are:

只有 $1$

only $1$

$1$ 和 $8$

$1$ and $8$

只有 $8$

only $8$

$8$ 和 $49$

$8$ and $49$

$1$ 、 $8$ 和 $49$

$1,$ $8,$ and $49$

答案：E

知识点：triangular square numbers Pell equation recurrence

难度评级：2450

小提示：

将 $\frac{K(K+1)}{2}=N^2$ 改写为 $(2K+1)^2-8N^2=1$

Rewrite $\frac{K(K+1)}{2}=N^2$ as $(2K+1)^2-8N^2=1$

大提示：

将 $(2K+1)+N\sqrt8$ 依次乘以 $3+\sqrt8$ 来生成正整数解，并在 $N\ge100$ 时停止

Generate successive positive solutions by multiplying $(2K+1)+N\sqrt8$ by $3+\sqrt8,$ stopping when $N\ge100$

解答：

题设条件为 $\frac{K(K+1)}2=N^2\text{，}$ 即 $(2K+1)^2-8N^2=1\text{。}$ 这个佩尔方程的正整数解由基本解 $3+\sqrt8$ 生成。最前面的几组 $(2K+1,N)$ 为 $\begin{aligned} &(3,1),\ (17,6),\\ &(99,35),\ (577,204),\ldots \end{aligned}$ 因此，满足 $N\lt100$ 的值为 $K=1,8,49$ 。

因此，正确答案是 E。

The condition is $\frac{K(K+1)}2=N^2,$ or $(2K+1)^2-8N^2=1.$ The positive solutions of this Pell equation are generated from the fundamental solution $3+\sqrt8.$ Their first pairs $(2K+1,N)$ are $\begin{aligned} &(3,1),\ (17,6),\\ &(99,35),\ (577,204),\ldots \end{aligned}$ Thus the values with $N\lt100$ are $K=1,8,49.$

Therefore, the correct answer is E.

1956 AMC 12 第 36 题

答案：E

难度评级：2450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 36 题