Question

一个三角形的底边长为 $80$ ，其中一个底角为 $60^\circ$ ，另两边长度之和为 $90$ 。最短边长为：

The base of a triangle is $80,$ and one of the base angles is $60^\circ.$ The sum of the lengths of the other two sides is $90.$ The shortest side is:

$45$

$40$

$36$

$17$

$12$

答案：D

知识点：余弦定理代数变形

难度评级：1550

小提示：

设与 $60^\circ$ 角相邻的边长为 $x$ ，则第三边长为 $90-x$

Let the side adjacent to the $60^\circ$ angle be $x$ , so the third side is $90-x$

大提示：

对夹角两边 $80$ 和 $x$ 应用余弦定理

Apply the law of cosines with included sides $80$ and $x$

解答：

设与 $60^\circ$ 底角相邻的边长为 $x$ ，对边长为 $90-x$ 。由余弦定理 $\begin{aligned} (90-x)^2 &=80^2+x^2\\ &\quad{}-2(80)(x)\cos60^\circ \end{aligned}\text{。}$ 化简得 $8100-180x=6400-80x$ ，所以 $x=17$ 。三边长为 $17,\ 73$ 和 $80$ ，最短边为 $17$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the side adjacent to the $60^\circ$ base angle be $x,$ and let the opposite side be $90-x.$ The law of cosines gives $\begin{aligned} (90-x)^2 &=80^2+x^2\\ &\quad{}-2(80)(x)\cos60^\circ. \end{aligned}$ Simplifying yields $8100-180x=6400-80x,$ so $x=17.$ The side lengths are $17,\ 73,$ and $80,$ and the shortest is $17.$

Thus, the correct answer is D.

1959 AMC 12 第 36 题

答案：D

难度评级：1550

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 36 题