Question

在图中，圆的半径等于等边三角形 $ABC$ 的高。让圆沿边 $AB$ 滚动，并始终在动点 $T$ 处与该边相切，同时分别在动点 $M$ 和 $N$ 处与直线 $AC$ 和 $BC$ 相交。设弧 $MTN$ 的度数为 $n$ 。那么对于圆的所有允许位置， $n$ ：

In this figure the radius of the circle is equal to the altitude of the equilateral triangle $ABC.$ The circle is made to roll along the side $AB,$ remaining tangent to it at a variable point $T$ and intersecting lines $AC$ and $BC$ in variable points $M$ and $N,$ respectively. Let $n$ be the number of degrees in arc $MTN.$ Then $n,$ for all permissible positions of the circle:

在 $30^\circ$ 到 $90^\circ$ 之间变化

varies from $30^\circ$ to $90^\circ$

在 $30^\circ$ 到 $60^\circ$ 之间变化

varies from $30^\circ$ to $60^\circ$

在 $60^\circ$ 到 $90^\circ$ 之间变化

varies from $60^\circ$ to $90^\circ$

恒为 $30^\circ$

remains constant at $30^\circ$

恒为 $60^\circ$

remains constant at $60^\circ$

答案：E

知识点：圆坐标几何等边三角形圆周角弧

难度评级：2130

小提示：

圆心 $O$ 和顶点 $C$ 到 $AB$ 的距离都等于三角形的高，所以 $CO\parallel AB$

The circle’s center $O$ and vertex $C$ are the same distance above $AB$ , so $CO\parallel AB$

大提示：

延长 $NC$ 过 $C$ ，使其再次与圆交于 $D$ ，再利用关于直线 $CO$ 的反射

Extend $NC$ through $C$ to meet the circle again at $D$ , then use reflection across line $CO$

解答：

设 $O$ 为圆心。 $O$ 和 $C$ 到 $AB$ 的距离都等于三角形的高，所以 $CO\parallel AB$ 。延长 $NC$ 过 $C$ ，使其再次与圆交于 $D$ 。由于 $CD$ 与 $CN$ 方向相反， $\begin{aligned} \angle MCD &=180^\circ-\angle MCN\\ &=120^\circ \end{aligned}\text{。}$ 平行于 $AB$ 的直线 $CO$ 平分这个角。关于 $CO$ 的反射使圆保持不变，并交换射线 $CM$ 与 $CD$ ，所以也交换点 $M$ 与 $D$ 。因此 $CM=CD$ ，等腰三角形 $MCD$ 的两个底角均为 $30^\circ$ 。

由于 $D,C,N$ 共线， $\angle MDN=30^\circ$ 。这个圆周角所对的是弧 $MTN$ ，因此在圆的每个允许位置，弧的度数都为 $60^\circ$ 。

所以，正确答案是 E。

Let $O$ be the circle’s center. Both $O$ and $C$ are one triangle altitude above $AB,$ so $CO\parallel AB.$ Extend $NC$ through $C$ to meet the circle again at $D.$ Since $CD$ is opposite to $CN,$ $\begin{aligned} \angle MCD &=180^\circ-\angle MCN\\ &=120^\circ. \end{aligned}$ The line $CO,$ parallel to $AB,$ bisects this angle. Reflection across $CO$ fixes the circle and interchanges rays $CM$ and $CD,$ so it interchanges $M$ and $D.$ Hence $CM=CD,$ and isosceles triangle $MCD$ has base angles $30^\circ.$

Because $D,C,N$ are collinear, $\angle MDN=30^\circ.$ This inscribed angle subtends arc $MTN,$ whose measure is therefore $60^\circ$ for every permissible circle position.

Thus, the correct answer is E.

1964 AMC 12 第 36 题

答案：E

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 36 题