Question

三角形的三边长为 $13$ 、 $14$ 和 $15$ 。三条高交于点 $H$ 。若 $AD$ 是边长为 $14$ 的边上的高，则 $HD:HA$ 为多少？

The sides of a triangle are of lengths $13,$ $14,$ and $15.$ The altitudes of the triangle meet at point $H.$ If $AD$ is the altitude to the side of length $14,$ what is the ratio $HD:HA?$

$3:11$

$5:11$

$1:2$

$2:3$

$25:33$

答案：B

知识点：高线坐标几何海伦公式

难度评级：1850

小提示：

边长为 $13$ 、 $14$ 、 $15$ 的三角形面积为 $84$ ，所以边长为 $14$ 的边上的高为 $12$

The $13$ - $14$ - $15$ triangle has area $84$ , so the altitude to side $14$ is $12$

大提示：

高的垂足把边长为 $14$ 的边分成长度为 $5$ 和 $9$ 的两段；用坐标求出 $H$ 的位置

The altitude foot divides the side of length $14$ into segments $5$ and $9$ ; use coordinates to locate $H$

解答：

由海伦公式可得面积为 $84$ ，所以 $AD=\frac{2(84)}{14}=12$ 。邻接的边长为 $13$ 的边在底边上的投影长为 $\sqrt{13^2-12^2}=5$ ，底边剩余部分长为 $9$ 。设 $D=(0,0),\ A=(0,12)$ 、 $B=(-5,0),\ C=(9,0)$ 。直线 $AC$ 的斜率为 $-\frac{4}{3}$ ，所以经过 $B$ 的高的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，并在高度 $\frac{15}{4}$ 处与 $AD$ 相交。因此 $\begin{gathered} HD=\frac{15}{4},\\ HA=12-\frac{15}{4}=\frac{33}{4} \end{gathered}\text{，}$ 从而 $HD:HA=5:11$ 。

因此，正确答案是 B。

Heron’s formula gives area $84,$ so $AD=\frac{2(84)}{14}=12.$ The adjacent $13$ -side has projection $\sqrt{13^2-12^2}=5,$ leaving $9$ on the base. Put $D=(0,0),\ A=(0,12),$ $B=(-5,0),\ C=(9,0).$ Line $AC$ has slope $-\frac{4}{3},$ so the altitude through $B$ has slope $\frac{3}{4}$ and meets $AD$ at height $\frac{15}{4}.$ Thus $\begin{gathered} HD=\frac{15}{4},\\ HA=12-\frac{15}{4}=\frac{33}{4}, \end{gathered}$ giving $HD:HA=5:11.$

Therefore, the correct answer is B.

1964 AMC 12 第 35 题

答案：B

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题