Question

设 $O$ 为三角形 $ABC$ 的内点，且 $s_1=OA+OB+OC$ 。若 $s_2=AB+BC+CA$ ，则：

Let $O$ be an interior point of triangle $ABC,$ and let $s_1=OA+OB+OC.$ If $s_2=AB+BC+CA,$ then:

对每个三角形， $s_1\gt\dfrac12s_2$ ，且 $s_1\leq s_2$

for every triangle $s_1\gt\dfrac12s_2,$ and $s_1\leq s_2$

对每个三角形， $s_1\geq\dfrac12s_2$ ，且 $s_1\lt s_2$

for every triangle $s_1\geq\dfrac12s_2,$ and $s_1\lt s_2$

对每个三角形， $s_1\gt\dfrac12s_2$ ，且 $s_1\lt s_2$

for every triangle $s_1\gt\dfrac12s_2,$ and $s_1\lt s_2$

对每个三角形， $s_1\geq\dfrac12s_2$ ，且 $s_1\leq s_2$

for every triangle $s_1\geq\dfrac12s_2,$ and $s_1\leq s_2$

$(A)$ 、 $(B)$ 、 $(C)$ 、 $(D)$ 均不适用于每个三角形

neither $(A)$ nor $(B)$ nor $(C)$ nor $(D)$ applies to every triangle

答案：C

知识点：极限情形界定三角不等式

难度评级：1880

小提示：

将 $AB\lt OA+OB$ 、 $BC\lt OB+OC$ 与 $CA\lt OC+OA$ 相加

Add $AB\lt OA+OB,$ $BC\lt OB+OC,$ and $CA\lt OC+OA$

大提示：

将 $AO$ 延长至边 $BC$ ，证明 $OA+OB\lt AC+CB$ ，再循环处理

Extend $AO$ to side $BC$ to prove $OA+OB\lt AC+CB,$ and cycle

解答：

将三个严格的三角不等式 $\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}$ 相加，得到 $s_2\lt2s_1$ 。

为求上界，将 $AO$ 延长至 $BC$ 上的 $D$ 。此时 $AO+OD\lt AC+CD$ ，且 $OB\lt OD+DB$ ，消去相同部分得 $OA+OB\lt AC+CB$ 。循环处理并相加，得到 $2s_1\lt2s_2$ 。因此 $s_1\gt \frac{s_2}{2}$ 且 $s_1\lt s_2$ 。

因此，正确答案是 C。

Adding the three strict triangle inequalities $\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}$ gives $s_2\lt2s_1.$

For the upper bound, extend $AO$ to $D$ on $BC.$ Then $AO+OD\lt AC+CD$ and $OB\lt OD+DB,$ so cancellation gives $OA+OB\lt AC+CB.$ Cycling and adding yields $2s_1\lt2s_2.$ Therefore $s_1\gt \frac{s_2}{2}$ and $s_1\lt s_2.$

Thus, the correct answer is C.

1966 AMC 12 第 35 题

答案：C

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题