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1969 AMC 12 第 35 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

35.

设 L(m)L(m) 为图形 y=x2−6y=x^2-6 与 y=my=m 的两个交点中左侧交点的 xx 坐标，其中 −6<m<6-6\lt m\lt6。令 r=[L(−m)−L(m)]mr=\frac{[L(-m)-L(m)]}{m}。当 mm 任意接近零时，rr 的值：

Let L(m)L(m) be the xx-coordinate of the left endpoint of the intersection of the graphs of y=x2−6y=x^2-6 and y=m,y=m, where −6<m<6.-6\lt m\lt6. Let r=[L(−m)−L(m)]m.r=\frac{[L(-m)-L(m)]}{m}. Then, as mm is made arbitrarily close to zero, the value of rr is:

任意接近零

arbitrarily close to zero

任意接近 16\dfrac1{\sqrt6}

arbitrarily close to 16\dfrac1{\sqrt6}

任意接近 26\dfrac2{\sqrt6}

arbitrarily close to 26\dfrac2{\sqrt6}

任意大

arbitrarily large

无法确定

undetermined

答案：B
知识点：微积分根式分母有理化
难度评级：1970
小提示：

左侧交点的坐标为 L(m)=−6+mL(m)=-\sqrt{6+m}

The left intersection coordinate is L(m)=−6+mL(m)=-\sqrt{6+m}

大提示：

代入 rr，并将分子有理化

Substitute into rr and rationalize the numerator

解答：

左侧交点满足 L(m)=−6+m。 L(m)=-\sqrt{6+m}\text{。}因此 r=−6−m+6+mm=26+m+6−m。 \begin{aligned} r&=\frac{-\sqrt{6-m}+\sqrt{6+m}}{m}\\ &=\frac{2}{\sqrt{6+m}+\sqrt{6-m}} \end{aligned}\text{。}当 mm 趋近 00 时，该式趋近于 226=16\frac{2}{2\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt6}。

所以正确答案是 B。

The left intersection satisfies L(m)=−6+m. L(m)=-\sqrt{6+m}. Hence r=−6−m+6+mm=26+m+6−m. \begin{aligned} r&=\frac{-\sqrt{6-m}+\sqrt{6+m}}{m}\\ &=\frac{2}{\sqrt{6+m}+\sqrt{6-m}}. \end{aligned} As mm approaches 0,0, this approaches 226=16.\frac{2}{2\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt6}.

Therefore, the correct answer is B.

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