Question

一个三角形的三边长都是整数，面积也是整数。其中一边长为 $21$ ，周长为 $48$ 。最短边的长度是：

The lengths of the sides of a triangle are integers, and its area is also an integer. One side is $21$ and the perimeter is $48.$ The shortest side is:

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

答案：B

知识点：海伦公式分类讨论三角不等式

难度评级：2100

小提示：

把另外两边写成 $x$ 和 $27-x$ ，半周长为 $24$

Write the other sides as $x$ and $27-x$ , with semiperimeter $24$

大提示：

海伦公式给出面积平方为 $72(24-x)(x-3)$

Heron’s formula makes the squared area $72(24-x)(x-3)$

解答：

设另外两边为 $x$ 和 $27-x$ ，并令 $x\leq27-x$ 。半周长是 $24$ ，所以海伦公式给出 $\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3) \end{aligned}\text{。}$ 三角形不等式给出 $4\leq x\leq13$ 。逐一检查这些整数，当 $x=4,\ldots,9$ 时该表达式都不是完全平方数；当 $x=10$ 时，它等于 $72\cdot14\cdot7=7056=84^2$ 。因此最短边长为 $10$ 。

所以正确答案是 B。

Let the other sides be $x$ and $27-x,$ with $x\leq27-x.$ The semiperimeter is $24,$ so Heron’s formula gives $\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned}$ The triangle inequalities give $4\leq x\leq13.$ Checking these integers, the expression is not a square for $x=4,\ldots,9,$ while at $x=10$ it is $72\cdot14\cdot7=7056=84^2.$ Thus the shortest side is $10.$

Therefore, the correct answer is B.

1963 AMC 12 第 35 题

答案：B

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题