Question

在三角形 $ABC$ 中，边 $a=\sqrt3$ ，边 $b=\sqrt3$ ，且边 $c\gt3$ 。设 $x$ 是满足“边 $c$ 所对角的度数必大于 $x$ ”的最大数，则 $x$ 等于：

In triangle $ABC,$ side $a=\sqrt3,$ side $b=\sqrt3,$ and side $c\gt3.$ Let $x$ be the largest number such that the magnitude, in degrees, of the angle opposite side $c$ exceeds $x.$ Then $x$ equals:

$150$

$120$

$105$

$90$

$60$

答案：B

知识点：余弦定理不等式极限情形界定

难度评级：1920

小提示：

对边 $c$ 所对的角 $C$ 使用余弦定理

Use the law of cosines for the angle $C$ opposite $c$

大提示：

把 $c\gt3$ 与极限情形 $c=3$ 比较

Compare $c\gt3$ with the limiting case $c=3$

解答：

余弦定理给出 $\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}\text{。}$ 因为 $c\gt3$ ，所以 $\cos C\lt-\frac{1}{2}$ ，从而 $C\gt120^\circ$ 。角度可以趋近 $120^\circ$ ，只要 $c$ 从右侧趋近 $3$ ，所以能保证的最大下界是 $120$ 。

所以正确答案是 B。

The law of cosines gives $\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}.$ Since $c\gt3,$ $\cos C\lt-\frac{1}{2},$ so $C\gt120^\circ.$ Values can approach $120^\circ$ as $c$ approaches $3$ from above, so the largest guaranteed bound is $120.$

Therefore, the correct answer is B.

1963 AMC 12 第 34 题

答案：B

难度评级：1920

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 34 题