Question

设 $x^2-3x+1=0$ 的两根为 $r$ 和 $s$ 。则表达式 $r^2+s^2$ 是：

Let the roots of $x^2-3x+1=0$ be $r$ and $s.$ Then the expression $r^2+s^2$ is:

正整数

a positive integer

大于 $1$ 的正分数

a positive fraction greater than $1$

小于 $1$ 的正分数

a positive fraction less than $1$

无理数

an irrational number

虚数

an imaginary number

利用 $r+s=3$ 和 $rs=1$

Use $r+s=3$ and $rs=1$

将 $r^2+s^2$ 改写为 $(r+s)^2-2rs$

Rewrite $r^2+s^2$ as $(r+s)^2-2rs$

由韦达定理， $r+s=3$ 且 $rs=1$ 。因此 $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=9-2=7 \end{aligned}\text{，}$ 它是正整数。

因此，正确答案是 A。

Vieta’s formulas give $r+s=3$ and $rs=1.$ Therefore $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=9-2=7, \end{aligned}$ which is a positive integer.

Thus, the correct answer is A.