Question

当 $x$ 取区间 $x\ge0$ 中的任意值时，设分式 $\frac{2x+3}{x+2}$ 的所有可能值组成集合 $S$ 。设 $M$ 是 $S$ 的最小上界， $m$ 是 $S$ 的最大下界。于是可以说：

Let $S$ be the set of values assumed by the fraction $\frac{2x+3}{x+2}$ when $x$ is any member of the interval $x\ge0.$ Let $M$ be the least upper bound of $S,$ and let $m$ be the greatest lower bound of $S.$ We may then say:

$m$ 属于 $S$ ，但 $M$ 不属于 $S$

$m$ is in $S,$ but $M$ is not in $S$

$M$ 属于 $S$ ，但 $m$ 不属于 $S$

$M$ is in $S,$ but $m$ is not in $S$

$m$ 和 $M$ 都属于 $S$

both $m$ and $M$ are in $S$

$m$ 和 $M$ 都不属于 $S$

neither $m$ nor $M$ is in $S$

$M$ 在 $S$ 内外都不存在

$M$ does not exist either in or outside $S$

答案：A

知识点：函数不等式极限情形界定

难度评级：1500

小提示：

将分式改写为 $2-\frac1{x+2}$

Rewrite the fraction as $2-\frac1{x+2}$

大提示：

求出左端点的值，并考察 $x$ 增大时的极限

Evaluate the lower endpoint and examine the limit as $x$ increases

解答：

有 $\frac{2x+3}{x+2}=2-\frac1{x+2}\text{。}$ 当 $x\ge0$ 时，该值从 $\frac{3}{2}$ 递增并趋近 $2$ ，但不等于 $2$ 。因此 $S=[\frac32,2)$ ，其最大下界 $m=\frac{3}{2}$ 属于 $S$ ，而最小上界 $M=2$ 不属于其中。

因此，正确答案是 A。

We have $\frac{2x+3}{x+2}=2-\frac1{x+2}.$ For $x\ge0,$ this increases from $\frac{3}{2}$ toward $2$ without reaching $2.$ Thus $S=[\frac32,2),$ so its greatest lower bound $m=\frac{3}{2}$ belongs to $S,$ while its least upper bound $M=2$ does not.

Therefore, the correct answer is A.

1961 AMC 12 第 34 题

答案：A

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 34 题