Question

若 $n$ 是任意非负整数，则 $n^2(n^2-1)$ 一定能被下列哪个数整除？

If $n$ is any whole number, $n^2(n^2-1)$ is always divisible by:

$12$

$24$

$12$ 的任意倍数

any multiple of $12$

$12-n$

$12$ 和 $24$

$12$ and $24$

答案：A

知识点：整除性 consecutive integers 奇偶性

难度评级：1770

小提示：

将这个式子因式分解为 $n^2(n-1)(n+1)$

Factor the expression as $n^2(n-1)(n+1)$

大提示：

三个连续整数中必有一个是 $3$ 的倍数，而这些因子中至少含有两个因子 $2$

Among three consecutive integers there is a multiple of $3,$ and the factors supply at least two powers of $2$

解答：

我们有 $n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1)\text{。}$ 在 $n-1$ 、 $n$ 、 $n+1$ 中，有一个能被 $3$ 整除。若 $n$ 为偶数，则 $n^2$ 能被 $4$ 整除；若 $n$ 为奇数，则 $n-1$ 和 $n+1$ 都是偶数，所以它们的乘积能被 $4$ 整除。因此，这个式子一定能被 $12$ 整除。它不一定能被 $24$ 整除，因为 $n=2$ 时式子的值为 $12$ 。

因此，正确答案是 A。

We have $n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).$ Among $n-1,$ $n,$ and $n+1,$ one is divisible by $3.$ If $n$ is even, $n^2$ is divisible by $4;$ if $n$ is odd, both $n-1$ and $n+1$ are even, so their product is divisible by $4.$ Thus the expression is always divisible by $12.$ It is not always divisible by $24,$ since $n=2$ gives $12.$

Therefore, the correct answer is A.

1956 AMC 12 第 34 题

答案：A

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 34 题