Question

将一根直径为 $6$ 英寸的圆柱和一根直径为 $18$ 英寸的圆柱并放在一起，用铁丝捆住。能绕住它们的最短铁丝长度为：

A $6$ -inch-diameter pole and an $18$ -inch-diameter pole are placed together and bound together with wire. The length of the shortest wire that will go around them is:

$12\sqrt3+16\pi$

$12\sqrt3+7\pi$

$12\sqrt3+14\pi$

$12+15\pi$

$24\pi$

答案：C

知识点：common external tangents circle arcs 周长

难度评级：2150

小提示：

铁丝由两条公外切线段和每个圆上的一段外露圆弧组成

The wire consists of two common external tangent segments and one exposed arc on each circle

大提示：

使用半径 $3$ 和 $9$ ；每条切线段的长度为 $\sqrt{12^2-6^2}$

Use radii $3$ and $9$ ; each tangent segment has length $\sqrt{12^2-6^2}$

解答：

两圆心相距 $12$ 英寸，半径相差 $6$ 。因此每条公外切线段长 $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3\text{，}$ 两条共长 $12\sqrt3$ 。由切线的几何关系，半径为 $3$ 的圆上有一段 $120^\circ$ 的外露弧，半径为 $9$ 的圆上有一段 $240^\circ$ 的外露弧。两段弧长之和为 $\begin{aligned} &\frac{120}{360}(2\pi\cdot3)\\ &\quad{}+\frac{240}{360}(2\pi\cdot9)\\ &\qquad=2\pi+12\pi\\ &\qquad=14\pi \end{aligned}\text{。}$ 因此铁丝长为 $12\sqrt3+14\pi$ 。

因此，正确答案是 C。

The centers are $12$ inches apart and their radii differ by $6.$ Thus each common external tangent segment has length $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3,$ contributing $12\sqrt3$ in all. The geometry of the tangent lines leaves a $120^\circ$ exposed arc on the radius- $3$ circle and a $240^\circ$ exposed arc on the radius- $9$ circle. Their lengths total $\begin{aligned} &\frac{120}{360}(2\pi\cdot3)\\ &\quad{}+\frac{240}{360}(2\pi\cdot9)\\ &\qquad=2\pi+12\pi\\ &\qquad=14\pi. \end{aligned}$ Hence the wire length is $12\sqrt3+14\pi.$

Thus, the correct answer is C.

1955 AMC 12 第 34 题

答案：C

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 34 题