Question

Un poste de $6$ pulgadas de diámetro y otro de $18$ pulgadas de diámetro se colocan juntos y se atan con alambre. La longitud del alambre más corto que puede rodearlos es:

A $6$ -inch-diameter pole and an $18$ -inch-diameter pole are placed together and bound together with wire. The length of the shortest wire that will go around them is:

$12\sqrt3+16\pi$

$12\sqrt3+7\pi$

$12\sqrt3+14\pi$

$12+15\pi$

$24\pi$

Respuesta: C

Conceptos:common external tangents circle arcs perímetro

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

El alambre consta de dos segmentos tangentes exteriores comunes y un arco expuesto de cada círculo

The wire consists of two common external tangent segments and one exposed arc on each circle

Pista grande:

Usa radios $3$ y $9$ ; cada segmento tangente mide $\sqrt{12^2-6^2}$

Use radii $3$ and $9$ ; each tangent segment has length $\sqrt{12^2-6^2}$

Solución:

Los centros están separados $12$ pulgadas y sus radios difieren en $6.$ Por tanto, cada segmento tangente exterior común mide $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3,$ para un total de $12\sqrt3$ . La geometría de las rectas tangentes deja un arco expuesto de $120^\circ$ en el círculo de radio $3$ y uno de $240^\circ$ en el círculo de radio $9$ . Sus longitudes suman $\begin{aligned} &\frac{120}{360}(2\pi\cdot3)\\ &\quad{}+\frac{240}{360}(2\pi\cdot9)\\ &\qquad=2\pi+12\pi\\ &\qquad=14\pi. \end{aligned}$ Por lo tanto, la longitud del alambre es $12\sqrt3+14\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The centers are $12$ inches apart and their radii differ by $6.$ Thus each common external tangent segment has length $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3,$ contributing $12\sqrt3$ in all. The geometry of the tangent lines leaves a $120^\circ$ exposed arc on the radius- $3$ circle and a $240^\circ$ exposed arc on the radius- $9$ circle. Their lengths total $\begin{aligned} &\frac{120}{360}(2\pi\cdot3)\\ &\quad{}+\frac{240}{360}(2\pi\cdot9)\\ &\qquad=2\pi+12\pi\\ &\qquad=14\pi. \end{aligned}$ Hence the wire length is $12\sqrt3+14\pi.$

Thus, the correct answer is C.

1955 AMC 12 Problema 34

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 34 en otros años