Question

El residuo $R$ que se obtiene al dividir $x^{100}$ entre $x^2-3x+2$ es un polinomio de grado menor que $2.$ Entonces, $R$ puede escribirse como:

The remainder $R$ obtained by dividing $x^{100}$ by $x^2-3x+2$ is a polynomial of degree less than $2.$ Then $R$ may be written as:

$2^{100}-1$

$2^{100}(x-1)-(x-2)$

$2^{100}(x-3)$

$x(2^{100}-1)+2(2^{99}-1)$

$2^{100}(x+1)-(x+2)$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Escribe $R(x)=ax+b$ y usa $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

Write $R(x)=ax+b$ and use $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

Pista grande:

Evalúa la identidad de la división en $x=1$ y $x=2$

Evaluate the division identity at $x=1$ and $x=2$

Solución:

Escribe $R(x)=ax+b.$ Como el divisor es $(x-1)(x-2),$ al evaluar la identidad de la división en sus raíces se obtiene $R(1)=1,\qquad R(2)=2^{100}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} R(x)&=1+(2^{100}-1)(x-1)\\ &=2^{100}(x-1)-(x-2). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write $R(x)=ax+b.$ Since the divisor is $(x-1)(x-2),$ evaluating the division identity at its roots gives $R(1)=1,\qquad R(2)=2^{100}.$ Therefore $\begin{aligned} R(x)&=1+(2^{100}-1)(x-1)\\ &=2^{100}(x-1)-(x-2). \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1969 AMC 12 Problema 34

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 34 en otros años