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1969 AMC 12 Problema 35

Intenta el Problema 35 del 1969 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1969 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

35.

Sea L(m)L(m) la coordenada xx del punto izquierdo de intersección de las gráficas de y=x2−6y=x^2-6 y y=m,y=m, donde −6<m<6.-6\lt m\lt6. Sea r=[L(−m)−L(m)]m.r=\frac{[L(-m)-L(m)]}{m}. Entonces, al hacer mm arbitrariamente cercano a cero, el valor de rr es:

Let L(m)L(m) be the xx-coordinate of the left endpoint of the intersection of the graphs of y=x2−6y=x^2-6 and y=m,y=m, where −6<m<6.-6\lt m\lt6. Let r=[L(−m)−L(m)]m.r=\frac{[L(-m)-L(m)]}{m}. Then, as mm is made arbitrarily close to zero, the value of rr is:

arbitrariamente cercano a cero

arbitrarily close to zero

arbitrariamente cercano a 16\dfrac1{\sqrt6}

arbitrarily close to 16\dfrac1{\sqrt6}

arbitrariamente cercano a 26\dfrac2{\sqrt6}

arbitrarily close to 26\dfrac2{\sqrt6}

arbitrariamente grande

arbitrarily large

indeterminado

undetermined

Respuesta: B
Conceptos:cálculoradicalracionalización del denominador
Nivel de dificultad: 1970
Pista pequeña:

La coordenada de la intersección izquierda es L(m)=−6+mL(m)=-\sqrt{6+m}

The left intersection coordinate is L(m)=−6+mL(m)=-\sqrt{6+m}

Pista grande:

Sustituye en rr y racionaliza el numerador

Substitute into rr and rationalize the numerator

Solución:

La intersección izquierda satisface L(m)=−6+m. L(m)=-\sqrt{6+m}. Por lo tanto, r=−6−m+6+mm=26+m+6−m. \begin{aligned} r&=\frac{-\sqrt{6-m}+\sqrt{6+m}}{m}\\ &=\frac{2}{\sqrt{6+m}+\sqrt{6-m}}. \end{aligned} Cuando mm se aproxima a 0,0, esto se aproxima a 226=16.\frac{2}{2\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt6}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The left intersection satisfies L(m)=−6+m. L(m)=-\sqrt{6+m}. Hence r=−6−m+6+mm=26+m+6−m. \begin{aligned} r&=\frac{-\sqrt{6-m}+\sqrt{6+m}}{m}\\ &=\frac{2}{\sqrt{6+m}+\sqrt{6-m}}. \end{aligned} As mm approaches 0,0, this approaches 226=16.\frac{2}{2\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt6}.

Therefore, the correct answer is B.

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