Question

Las longitudes de los lados de un triángulo son enteros, y su área también es un entero. Un lado mide $21$ y el perímetro es $48.$ El lado más corto mide:

The lengths of the sides of a triangle are integers, and its area is also an integer. One side is $21$ and the perimeter is $48.$ The shortest side is:

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmula de Herón análisis por casos desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Escribe los otros lados como $x$ y $27-x$ , con semiperímetro $24$

Write the other sides as $x$ and $27-x$ , with semiperimeter $24$

Pista grande:

La fórmula de Herón hace que el área al cuadrado sea $72(24-x)(x-3)$

Heron’s formula makes the squared area $72(24-x)(x-3)$

Solución:

Sean los otros lados $x$ y $27-x,$ con $x\leq27-x.$ El semiperímetro es $24,$ así que la fórmula de Herón da $\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned}$ Las desigualdades del triángulo dan $4\leq x\leq13.$ Al comprobar estos enteros, la expresión no es un cuadrado para $x=4,\ldots,9,$ mientras que para $x=10$ vale $72\cdot14\cdot7=7056=84^2.$ Por tanto, el lado más corto mide $10.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the other sides be $x$ and $27-x,$ with $x\leq27-x.$ The semiperimeter is $24,$ so Heron’s formula gives $\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned}$ The triangle inequalities give $4\leq x\leq13.$ Checking these integers, the expression is not a square for $x=4,\ldots,9,$ while at $x=10$ it is $72\cdot14\cdot7=7056=84^2.$ Thus the shortest side is $10.$

Therefore, the correct answer is B.

1963 AMC 12 Problema 35

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años