Question

Desde un punto $P$ exterior a un círculo de circunferencia $10$ unidades se traza una tangente. También desde $P$ se traza una secante que divide el círculo en arcos desiguales de longitudes $m$ y $n.$ Se sabe que $t,$ la longitud de la tangente, es la media proporcional entre $m$ y $n.$ Si $m$ y $t$ son enteros, entonces $t$ puede tomar el siguiente número de valores:

From point $P$ outside a circle, with a circumference of $10$ units, a tangent is drawn. Also from $P$ a secant is drawn dividing the circle into unequal arcs with lengths $m$ and $n.$ It is found that $t,$ the length of the tangent, is the mean proportional between $m$ and $n.$ If $m$ and $t$ are integers, then $t$ may have the following number of values:

cero

zero

uno

one

dos

two

tres

three

infinitos

infinitely many

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción cuadrado perfecto arco

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Usa $m+n=10$ y $t^2=mn$

Use $m+n=10$ and $t^2=mn$

Pista grande:

Prueba los valores enteros $m=1,2,\ldots,9,$ excluyendo los arcos iguales

Test the integer values $m=1,2,\ldots,9,$ excluding equal arcs

Solución:

Las longitudes de los arcos satisfacen $m+n=10,$ mientras que la condición de media proporcional da $t^2=mn=m(10-m).$ Para valores enteros de $m$ desde $1$ hasta $9,$ los productos posibles, salvo simetría, son $9,$ $16,$ $21,$ $24$ y $25.$ El último corresponde a arcos iguales $m=n=5$ y se excluye. Los cuadrados restantes dan $t=3$ y $t=4,$ dos valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The arc lengths satisfy $m+n=10,$ while the mean-proportional condition gives $t^2=mn=m(10-m).$ For integral $m$ from $1$ through $9,$ the possible products, up to symmetry, are $9,$ $16,$ $21,$ $24,$ and $25.$ The last comes from equal arcs $m=n=5$ and is excluded. The remaining squares give $t=3$ and $t=4,$ two values.

Thus, the correct answer is C.

1960 AMC 12 Problema 35

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años