Question

Con el denominador racionalizado, la expresión $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}$ es equivalente a:

With a rational denominator, the expression $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}$ is equivalent to:

$\dfrac{3+\sqrt6+\sqrt{15}}6$

$\dfrac{\sqrt6-2+\sqrt{10}}6$

$\dfrac{2+\sqrt6+\sqrt{10}}{10}$

$\dfrac{2+\sqrt6-\sqrt{10}}6$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: A

Conceptos:radical racionalización del denominador manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Primero considera el denominador como $(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5$ y multiplica por su conjugado

First treat the denominator as $(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5$ and multiply by its conjugate

Pista grande:

Después de la primera racionalización queda un denominador que contiene $\sqrt6$ ; usa otro conjugado

After the first rationalization, a denominator containing $\sqrt6$ remains; use another conjugate

Solución:

Primero multiplicamos por el conjugado $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5.$ Esto da $\begin{aligned} &\frac{\sqrt2(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)} {(\sqrt2+\sqrt3)^2-5}\\ &\qquad=\frac{2+\sqrt6+\sqrt{10}}{2\sqrt6}. \end{aligned}$ Al multiplicar numerador y denominador por $\sqrt6$ se obtiene $\begin{gathered} \frac{2\sqrt6+6+\sqrt{60}}{12} \\ =\frac{3+\sqrt6+\sqrt{15}}6. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Multiply first by the conjugate $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5.$ This gives $\begin{aligned} &\frac{\sqrt2(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)} {(\sqrt2+\sqrt3)^2-5}\\ &\qquad=\frac{2+\sqrt6+\sqrt{10}}{2\sqrt6}. \end{aligned}$ Multiplying numerator and denominator by $\sqrt6$ yields $\begin{gathered} \frac{2\sqrt6+6+\sqrt{60}}{12} \\ =\frac{3+\sqrt6+\sqrt{15}}6. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

1952 AMC 12 Problema 35

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años