Question

Un rectángulo mide $5$ pulgadas de largo y menos de $4$ pulgadas de ancho. Se dobla de modo que dos vértices opuestos coincidan. Si la longitud del pliegue es $\sqrt6,$ entonces el ancho es:

The length of a rectangle is $5$ inches and its width is less than $4$ inches. The rectangle is folded so that two diagonally opposite vertices coincide. If the length of the crease is $\sqrt6,$ then the width is:

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt5$

$\sqrt{\frac{11}{2}}$

Respuesta: D

Conceptos:plegado de papel mediatriz geometría analítica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

El pliegue es la mediatriz de una diagonal del rectángulo

The crease is the perpendicular bisector of a rectangle diagonal

Pista grande:

Si el ancho es $w\lt4,$ sus intersecciones con los lados largos difieren horizontalmente en $\frac{w^2}{5}$

If the width is $w\lt4,$ its intersections with the long sides differ horizontally by $\frac{w^2}{5}$

Solución:

Coloca el rectángulo en $(0,0),$ $(5,0),$ $(5,w),$ y $(0,w).$ El pliegue que lleva $(0,0)$ a $(5,w)$ es $5x+wy=\frac{25+w^2}{2}.$ Como $w\lt4,$ corta los dos lados horizontales. Entre esas intersecciones, el cambio vertical es $w$ y el horizontal es $\frac{w^2}{5}.$ Así, $6=w^2+\frac{w^4}{25}.$ Tomando $z=w^2$ se obtiene $z^2+25z-150=0,$ de modo que $z=5$ y $w=\sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the rectangle at $(0,0),$ $(5,0),$ $(5,w),$ and $(0,w).$ The crease sending $(0,0)$ to $(5,w)$ is $5x+wy=\frac{25+w^2}{2}.$ Because $w\lt4,$ it meets the two horizontal sides. Between those intersections the vertical change is $w$ and the horizontal change is $\frac{w^2}{5}.$ Thus $6=w^2+\frac{w^4}{25}.$ Setting $z=w^2$ gives $z^2+25z-150=0,$ so $z=5$ and $w=\sqrt5.$

Therefore, the correct answer is D.

1965 AMC 12 Problema 35

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años