Question

Sean $OA$ y $OB$ dos rectas distintas. Desde un punto de $OA$ se traza una perpendicular a $OB;$ desde el pie de esta perpendicular se traza una recta perpendicular a $OA.$ Desde el pie de esta segunda perpendicular se traza otra perpendicular a $OB;$ y así sucesivamente de manera indefinida. Las longitudes de la primera y la segunda perpendicular son $a$ y $b,$ respectivamente. La suma de las longitudes de las perpendiculares se aproxima a un límite cuando su número crece sin cota. Este límite es:

Given distinct straight lines $OA$ and $OB.$ From a point in $OA$ a perpendicular is drawn to $OB;$ from the foot of this perpendicular a line is drawn perpendicular to $OA.$ From the foot of this second perpendicular a line is drawn perpendicular to $OB;$ and so on indefinitely. The lengths of the first and second perpendiculars are $a$ and $b,$ respectively. Then the sum of the lengths of the perpendiculars approaches a limit as the number of perpendiculars grows beyond all bounds. This limit is:

$\dfrac b{a-b}$

$\dfrac a{a-b}$

$\dfrac{ab}{a-b}$

$\dfrac{b^2}{a-b}$

$\dfrac{a^2}{a-b}$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica semejanza sumatoria

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Los triángulos rectángulos sucesivos formados por las dos rectas fijas son semejantes

Successive right triangles formed by the two fixed lines are similar

Pista grande:

Las longitudes de las perpendiculares forman una sucesión geométrica de primer término $a$ y razón $\frac{b}{a}$

The perpendicular lengths form a geometric sequence with first term $a$ and ratio $\frac{b}{a}$

Solución:

Cada nuevo triángulo rectángulo tiene el mismo ángulo agudo, así que las longitudes de las perpendiculares forman una sucesión geométrica. Como las dos primeras longitudes son $a,b,$ la razón común es $\frac{b}{a}.$ La convergencia implica $0\lt \frac{b}{a}\lt1,$ y la suma es $\frac{a}{1-\frac{b}{a}}=\frac{a^2}{a-b}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each new right triangle has the same acute angle, so the perpendicular lengths form a geometric sequence. Since the first two lengths are $a,b,$ the common ratio is $\frac{b}{a}.$ Convergence implies $0\lt \frac{b}{a}\lt1,$ and the sum is $\frac{a}{1-\frac{b}{a}}=\frac{a^2}{a-b}.$

Therefore, the correct answer is E.

1965 AMC 12 Problema 36

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 36 en otros años