Question

Sean $s_1,$ $s_2,$ $s_3$ las sumas respectivas de $n,$ $2n,$ $3n$ términos de la misma progresión aritmética, con $a$ como primer término y $d$ como diferencia común. Sea $R=s_3-s_2-s_1.$ Entonces $R$ depende de:

Let $s_1,$ $s_2,$ $s_3$ be the respective sums of $n,$ $2n,$ $3n$ terms of the same arithmetic progression with $a$ as the first term and $d$ as the common difference. Let $R=s_3-s_2-s_1.$ Then $R$ is dependent on:

$a$ y $d$

$a$ and $d$

$d$ y $n$

$d$ and $n$

$a$ y $n$

$a$ and $n$

$a,$ $d,$ y $n$

$a,$ $d,$ and $n$

ni $a$ , ni $d$ , ni $n$

neither $a$ nor $d$ nor $n$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Usa $S_k=\dfrac{k}{2}(2a+(k-1)d)$

Use $S_k=\dfrac{k}{2}(2a+(k-1)d)$

Pista grande:

Sustituye $k=n,2n,3n$ y agrupa por separado los términos con $a$ y con $d$

Substitute $k=n,2n,3n$ and collect the $a$ -terms and $d$ -terms separately

Solución:

Usando la fórmula de la suma aritmética, $s_j=\frac{jn}{2}\bigl(2a+(jn-1)d\bigr).$ En $s_3-s_2-s_1,$ el coeficiente de $a$ es $3n-2n-n=0.$ Al simplificar los términos restantes se obtiene $R=2n^2d.$ Así, $R$ depende de $d$ y $n,$ pero no de $a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using the arithmetic-series formula, $s_j=\frac{jn}{2}\bigl(2a+(jn-1)d\bigr).$ In $s_3-s_2-s_1,$ the coefficient of $a$ is $3n-2n-n=0.$ Simplifying the remaining terms gives $R=2n^2d.$ Thus $R$ depends on $d$ and $n,$ but not on $a.$

Therefore, the correct answer is B.

1960 AMC 12 Problema 36

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 36 en otros años