Question

Sea

$\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}$

una identidad en $x.$ Si tomamos $s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},$ entonces $s$ es igual a:

Let

$\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}$

be an identity in $x.$ If we let $s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},$ then $s$ equals:

$2^n$

$2^n+1$

$\dfrac{3^n-1}{2}$

$\dfrac{3^n}{2}$

$\dfrac{3^n+1}{2}$

Respuesta: E

Conceptos:paridad polinomio sustitución

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Evalúa el polinomio en $x=1$ y $x=-1$

Evaluate the polynomial at $x=1$ and $x=-1$

Pista grande:

Al sumar esos dos valores se cancelan todos los coeficientes de grado impar

Adding those two values cancels all odd-degree coefficients

Solución:

Sea $P(x)=(1+x+x^2)^n.$ Entonces $P(1)=3^n$ es la suma de todos los coeficientes, mientras que $P(-1)=1$ es la suma de los coeficientes pares menos la de los impares. Por lo tanto, $s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $P(x)=(1+x+x^2)^n.$ Then $P(1)=3^n$ is the sum of all coefficients, while $P(-1)=1$ is the even-coefficient sum minus the odd-coefficient sum. Therefore $s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.$

Therefore, the correct answer is E.

1966 AMC 12 Problema 36

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 36 en otros años